随机事件及其运算

概率论与数理统计《概率论与数理统计》的基本内容——概率论、数理统计与回归分析自然界与社会生活中的两类现象：确定现象：在一定条件下，结果确定。随机现象：在一定条件下，重复实验，结果不确定概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律.概率论的发展历史1.赌博游戏问题(16世纪)点数问题：同时掷3个色子，出现9点与出现10点，哪种可能性大？伽利略用穷举法解决此问题。出现10点的可能性比出现9点的可能性大，其比为27：25解：三个色子掷出9点有六组数字：①：1，2，6；②：1，3，5；③：2，3，4；④：2，2，5；⑤：1，4，4；⑥：3，3，3；33183P1362C125.共种三个色子掷出10点有六组数字：①：1，3，6；②：1，4，5；③：2，3，5；④：2，2，6；⑤：2，4，4；⑥：3，3，4；33183P1393C27.共种所以，出现10点的可能性比出现9点的可能性大，其比为27：25。合理分配赌注问题：甲乙两赌徒的赌技相同，在一次比赛中约定先赢6局者胜，胜者获得全部赌注。每局无平局。两赌徒在甲赢了5局乙赢了2局的情形下，赌博因故中断，问总赌注该如何分配才合理？该问题在提出100多年后，帕斯卡和费马给出了正确答案15:1解：设想再赌下去，甲只需再赢一局即可获胜，而乙则需要连赢四局才能取胜。由于甲乙两赌徒的赌技相同，在每局比赛中获胜的机会甲和乙都是1/2.所以，乙连赢四局的概率为(1/2)4=1/16.所以，甲胜的概率为1-1/16=15/16.因此，赌注应按15:1分配.2.最早的概率论专著《掷骰游戏之书》：16世纪30年代，卡尔达诺.首次将数学理论用于研究掷骰、打牌等游戏，得到了相当于现代概率中的“幂定律”等一些基本命题。3.最早公开发表的概率论文献《论赌博中的计算》：1657年，惠更斯.引进了“数学期望”的概念.4.概率论创立的标志《猜度术》：1713年，伯努利.提出了“伯努利大数定律”，使概率论成为一个独立的数学分支。5.概率的古典定义《概率的分析理论》：1812年，拉普拉斯.6.概率的公理化定义1900年，希尔伯特提议解决此问题。1933年，柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义，是概率论发展史上的一个里程碑.：在一定的条件下并不总是出现相同结果的现象.第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算：一定条件下必然发生的现象。例如：掷一颗骰子出现的点数；某种型号电视机的寿命.例如:太阳从东方升起；上抛物体下落等.带有随机性、偶然性的现象随机现象具有以下特性：1.结果不止一个。2.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生。随机现象1.1.1随机现象确定现象例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；随机试验：对在相同条件下可重复的随机现象的观察、记录、实验。也有许多随机现象是不能重复的.例如：某场足球赛的输赢；某些经济现象（如失业，经济增长速度）等.概率论与数理统计主要是研究能大量重复的随机现象.但也十分注意研究不能重复的随机现象.随机现象是不是没有规律可言?在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性否！例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则会表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.随机现象的统计性规律从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中又存在着必然的规律。称为概率论与数理统计所研究的对象.*含有有限个或可列个样本点的样本空间——离散样本空间；含有不可列无限个样本点的样本空间——连续样本空间.1.1.2样本空间.}6,5,4,3,2,1{1.},2,1,0{2随机现象的一切可能基本结果组成的的集合称为样本空间，又称样本点.记为={}.其中的表示基本结果，3{}0tt仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间.*样本空间中至少有两个样本点，*样本空间中的元素可以是数也可以不是数.用现代集合论这个简单的工具表述随机试验（1）掷一颗色子，出现的点数。（2）一天内进入某超市的顾客数。（3）某型号电视机的寿命（单位：小时）。⑴：试验E的样本空间的子集称为随机事件，简称事件.通常用A、B、C……表示.⑵：在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现，称该事件发生。⑶：单个样本点组成的事件称为基本事件.⑷：样本空间称为必然事件.⑸：空集称为不可能事件.{1}例：掷一颗色子的样本空间为={1,2,3,4,5,6},则事件A=“出现1点”=事件B=“出现偶数点”=事件C=“出现点数小于7”=事件D=“出现点数大于6”={2，4，6}{1，2，3，4，5，6}=基本事件必然事件不可能事件1.1.3随机事件Ａ维恩图•3•12•“X=3”，事件“出现的点数不小于3”可用随机变量X表示为例掷一颗骰子所出现的点数就是一个随机变量，记为X,则事件“出现3点”可用随机变量X表示为1.1.4随机变量)6,6()1,6()6,2()1,2()6,1()2,1()1,1(}.)1,4()2,3(),3,2(),4,1({5”“YX用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,η等表示.掷两颗骰子的样本空间为记X与Y分别为第一与第二颗骰子出现的点数，则X与Y可取值均为：1,2,…,6.事件“点数之和等于5”可表示成用随机变量表示事件往往比较简洁.事件有三种表示的方法：①用集合；②用语言；③用随机变量.“X3”。1.1.5事件的关系1.事件的包含若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作AB或BA.即A中的每个样本点必在B中.若事件A与B满足：AB且BA，则称事件A与事件B相等(或等价)，记作A=B.即A的每个样本点必在B中，且B中的每个样本点必在A中.BA2.事件的相等3.互不相容(互斥)事件若事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与B互不相容(互斥)，或说A与B没有公共的样本点.推广：若A1,A2,…,An中的任意两个事件都互不相容，则称事件A1,A2,…,An两两互不相容.，}8,,2,1,0{.}3,2,1,0{A.}8,7,6,5,4{D例在某公路随机抽查8辆汽车考察其中违章车的辆数.样本空间A:“违章车不超过3辆”，C:“有2至5辆违章”，D:“有4至8辆违章”，.}5432{，，，CE:“违章车不少于2辆且不多于5辆”，.}5432{，，，E显然，.,ECDFF:“违章车多于4辆”，.}8765{，，，FB:“有2或3辆违章”，.}32{，B互逆1.1.6事件的运算•称事件“A与B至少有一个发生”记作A∪B.即A∪B={|A或B}.为事件A与B事件的和(并)，BA1.事件的和(并){1，3，5},{1，2，3},例：掷一颗色子，记事件A为“出现奇数点”，记事件B为“出现点数不超过3”，则A=B=A∪B={1，2，3，5}.推广：称“A1,A2,…,An中至少有一个发生”为事件A1,A2,…,An的和(并)，记作A1∪A2∪…∪An，.1iniA或称“A1,A2,…,中至少有一个发生”为事件A1,A2,…,的和(并)，记作A1∪A2∪…，1.iiA或有限并可列并称事件“A与B同时发生”记作A∩B或AB.即A∩B={|A且B}.为事件A与B事件的积(交)，{1，3，5},{1，2，3},例：掷一颗色子，记事件A为“出现奇数点”，记事件B为“出现点数不超过3”，则A=B=A∩B={1，3}.2.事件的积(交)BAAB推广：称“A1,A2,…,An同时发生”为事件A1,A2,…,An的积(交)，记作A1∩A2∩…∩An，称“A1,A2,…,同时发生”为事件A1,A2,…,的积(交)，记作A1∩A2∩…，1.iiA或有限交可列交1.niiAI或3.事件的差AAA,AA.A互逆事件？互不相容\若事件A与事件B必有一个、且仅有一个发生，则称事件A与B互为逆事件(对立事件).即A∪B=，AB=Ø，记B=A.4.互逆事件(对立事件)称事件“A发生且B不发生”为事件A与B事件的差，记作A-B.即A-B={|A且B}.ABA-B常用结论：.ABAAB互斥•交换律：A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A•结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪CA∩（B∩C）＝（A∩B）∩C•分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）•德.摩根律：,,ABABABAB随机事件的运算规律：，IniiniiAA1111.iiiiAA11,nniiiiAA11,iiiiAA例：设A、B、C表示三个事件，试用A、B、C的运算表示下列事件：⑴仅A发生；⑵A、B、C都不发生；⑶A、B、C都发生；⑷A、B、C至少有一个发生；⑸A、B、C恰有一个发生。解：⑴⑵⑶⑷⑸ABCABCABCABCABCABCABC符号集合概率空间样本空间（必然事件）空集不可能事件∈中的元素样本点{}单点集基本事件A的子集事件AAB集合A包含在集合B中事件A发生必有事件B发生A=B集合A与B相等事件A与事件B相等A∪B集合A与B的并集事件A与B至少发生一个A∩B集合A与B的交集事件A与B同时发生A∩B=集合A与B无共同元素事件A与B不能同时发生Ā集合A的补集事件A不发生A-B集合A与B的差事件A发生而事件B不发生1.1.7事件域定义1：设是样本空间，F为的某些子集构成的集合类，若F满足：(1)F；—(2)若AF；则对立事件AF；(3)若AiF；则可列并F；则称F为一个事件域，又称F为一个代数.称(，F)为可测空间。1iiA性质：设(，F)为可测空间，若AiF,i=1,2,...，则(1)F；1niiA(3)F；(5)F；12AA1iiA(4)F；(2)F；1niiAF：包括和Ø，且关于集合的运算(并、交、差、逆)封闭.•基本概念：随机试验、样本空间、事件•事件就是一个集合，事件之间的关系和运算遵循集合间的关系和运算。•会用概率论的语言解释事件之间的关系，如：A∪B表示A、B至少有一个发生。•会用简单事件的运算表示复杂事件。小结：作业：P113，5