自主招生考试数学试卷及参考答案

第2题自主招生考试数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。4．答题过程不准使用计算器。祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a(x2-1)－2cx+b(x2+1)=0的根的情况为A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定根的情况2．如图，PPP123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得三个三角形PAOPAOPAO112233、、，设它们的面积分别是SSS123、、，则ASSS123BSSS213CSSS132DSSS1233．如图，以BC为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是Aπ－1Bπ－2C121D221第3题第5题4．由325xyaxyaxyam得a－3,则m的取值范围是Am－3Bm－3Cm－3Dm－35．如图，矩形ABCG（ABBC）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，APE的顶点P在线段BD上移动，使APE为直角的点P的个数是A0B1C2D36．已知抛物线y=ax2+2ax+4(0a3),A（x1，y1）B(x2，y2)是抛物线上两点，若x1x2,且x1+x2=1－a,则Ay1y2By1=y2Cy1y2Dy1与y2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7．二次函数y＝ax2+(a－b）x—b的图象如图所示，那么化简222||aabbba的结果是______▲________.8．如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD、OE、FG、HI都垂直于AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知SΔAJI=1，则S正方形ABCD=▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为▲10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片▲张（2）第n个图案中有白色纸片▲张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片▲张第7题第8题11.如图所示,线段AB与CD都是⊙O中的弦,其中108,,36,OOABABaCDCDb,则⊙O的半径R=▲12．阅读下列证明过程：已知，如图四边形ABCD中，AB＝DC，AC＝BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：▲．(2)作DE∥AB的目的是：▲．(3)判断四边形ABED为平行四边形的依据是：▲．(4)判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是▲．(5)若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？答▲．第10题第11题第12题自主招生考试数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）题号123456答案ADACCA二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7．______－1__________8．2569．57610．（1）13（2）3n+1（3）1525011.abab或12．(1)没有错误(2)为了证明AD∥BC(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义(5)不一定，因为当AD＝BC时，四边形ABCD是矩形三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进人公园时无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入公园时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该公园时，需再购买门票，每次3元。⑴（5分）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该公园的门票上，试通过计算，找出可使进人该公园的次数最多的购票方式；⑵（5分）求一年中进人该公园至少超过多少次时，购买A类票比较合算。14．（本小题12分）如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1，AC是以点B为圆心。AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。⑴（4分）当∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF的中点；⑵（4分）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出函数的定义域；⑶（4分）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=56时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。图1图2解：15．（本小题12分）二次函数2yaxbxc的图象的一部分如图所示。已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，l）。（1）（4分）请判断实数a的取值范围，并说明理由；（2）（4分）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当ΔAMC面积等为△ABC面积的54倍时，求a的值。（3）（4分）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由。（3）由－1＜a＜0，设∠ABC为直角，由222BCABAC，得2211(1)2(1)aa．解得1a，不合题意．所以不存在。16．（本小题12分）如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km处和54km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号。在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s。（1）（6分）设A到P的距离为xkm，用x表示B,C到P的距离，并求x值；（2）（6分）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）。解：依题意，PA－PB=1.5×8=12(km)，PC－PB=1.5×20=30（km）．因此PB＝（x一12）km，PC=（18＋x）km.在△PAB中，AB=20km，22222220(12)332cos22205PAABPBxxxPABPAABxx同理，在△PAC中，72cos3xPACx由于coscosPABPAC即3327253xxxx解得1327x（km）．(2)作PDa,垂足为D.在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=132332332755xxx17.71（km）．答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km.17．(本小题14分)已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。（1）（4分）求证：CD是半圆O的切线（图1）；（2）（5分）作EF⊥AB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；（3）（5分）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC的正切值。（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径图1图3图22∵OC为半圆M的直径∴∠CDO=90°∴CD是半圆O的切线。（2）猜想：12EFOA。证法一：如图，连结OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则EG//OD。∵CE平分∠DCB∴∠OCE=∠KCE∵EF⊥AB∴EG=EF∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点∴∠CEO=∠CEK=90°∵CE为公共边∴△COE≌△CKE∴OE=KE∵EG//OD∴DG=GK∴EFEGODOA1212证法二：如图，以OC为直径作⊙M，延长EF交⊙M于点P，连结OD。∵EF⊥CO∴EFPFEPEOPO12，∵CE平分∠DCB∴∠DCE=∠ECO∴DEOEODEP∴OD=EP∴EFODOA1212证法三：如图，连结OD、ME，OD、ME相交于点H∵CE平分∠DCB∴OEDE∴ME⊥OD，OH12OD∵EF⊥CO∴∠MFE=∠MHO=90°∵∠EMF=∠OMH，ME=MO∴△MEF≌△MOH∴EF=OH∴EFODOA1212（3）解：如图3，延长OE交CD于点K设OF=x，EF=y，则OA=2y∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A∴四边形AFEN是矩形∴NEAFOAOFyx2同（2）证法一，得E是OK的中点∴N是CK的中点CONEyx222()CFCOOFyxEFABCEEO43，∴Rt△CEF∽Rt△EOF∴EFCFOF2，即yxyx243()解得yxyx31或当时，yxEOCEFOFyx33tan，当时，点与点重合，不符合题意，故舍去yxCA1∴tan∠EOC=3图3