处理一元二次方程根的分布问题的一般方法

数形结合处理二次方程根的分布问题的一般方法设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x)=0即一元二次方程的实根分布问题，可依照三个二次间的关系按下述步骤解决：⑴画出符合题设要求（即f(x)=0的实根分布情形）的所有不同类型的抛物线；⑵分析概括上述抛物线的图形特征并将它转化为相应的不等式组（分别从开口方向，与x轴的交点，对称轴，端点与特殊点位置等角度综合考虑）；⑶简化上述不等式组并求解，以得到原问题的解答。附:有关二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)实根分布问题的数与形对应结论（设f(x)=ax2+bx+c)设方程200axbxca的不等两根为12,xx且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0120,0xx两个正根即两根都大于0120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx大致图象a0a0得出的结论00200baaf00200baaf00fa表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaafk020bkaafk0kfakkk表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内仅一根在nm,内(另一根不为m,n）两根分别nm,与qp,内，两根分别在区间nm,外大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq00fmfn大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq00fmfn综合结论（不讨论a）0()()0-2fmfnbmna0nfmf00qfpfnfmf()()0fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0fm或0fn，则此时0fmfn不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2方程有且只有一解，且这个解在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260xmxm有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由300ff即141530mm得出15314m；②由0即2164260mm得出1m或32m，当1m时，根23,0x，即1m满足题意；当32m时，根33,0x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m例1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求m的取值范围。解：由2100mf即2110mm，从而得112m即为所求的范围。例2已知实数a、b、c满足22211abcabcabc，求ab的取值范围.解：由已知得1abc且222222()()(1)(1)22ababccabcc.所以,ab是一元二次方程22(1)()0xcxcc的两根.由abc知问题可转化为方程22(1)()0xcxcc的二根都大于c.令()fx22(1)()xcxcc，则有：m2212()0(1)4()0ccfcccc即22123203210cccccc，求得103c，因此4(1,)3ab.例3已知点(0,4)A、(4,0)B.若抛物线21yxmxm与线段AB(不包括端点A及B)有两个不同的交点，则m的取值范围是(1997上海数学竞赛)解：显然直线AB的方程为1(04)44xyx即4yx将它代入抛物线方程并整理得2(1)(3)0xmxm.设2()(1)(3)fxxmxm问题转化函数()yfx的图象和x轴在0到4之间有两个不同的交点即方程2(1)(3)0xmxm在(0,4)上有两个不相等的实根.所以2(1)4(3)0(0)30(4)164(1)30104.2mmfmfmmm解得m的取值范围是1733m.根的分布练习题题1：已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。题2：已知方程2210xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。题3：已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。题4：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆附练习题答案：题1：122m:；题2：0322m或322m；题3：13m；题4解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内画出示意图，得65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf∴2165m新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff.01,2121,21,21mmmmm或(这里0－m1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)解之得1-1-22m。21-1oyx1oyx