(完整版)MATLAB数值积分解读

6MATLAB数值积分定积分：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分定义为max()01()lim()inbiiaxiIfxdxfx其中011,,niiiaxxxbxxx1(,),1,2,,iiixxin6.1数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。6.2数值积分的实现方法6.2.1变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。例1求定积分：(1)建立被积函数文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)dxxex305.0)6sin(6.2.2牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。例2求定积分:(1)被积函数文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)调用函数quad8求定积分。I=quad8('fx',0,pi)0)coscos1(sindxxxxx例3分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。调用函数quad求定积分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)调用函数quad8求定积分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)5.21dxex6.2.3被积函数由一个表格定义trapz(x,y)为梯形积分法，x表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数在x处的函数值，z返回积分值。例4用trapz函数计算定积分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans=0.285796824163936.3二重定积分的数值求解使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y上、下限。例5计算二重定积分(1)建立一个函数文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)调用dblquad函数求解。globalki;ki=0;I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)ki221122)sin(2dydxyxextriplequad(‘fun’,a,b,c,d,e,f)为三维矩形区域上的三重数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y上、下限，e,f分别为z上、下限。其它命请同学们用help命令查阅详细信息及调用方法。2020/8/1137MATLAB符号计算2020/8/1147.1符号对象7.1.1建立符号对象1.建立符号变量和符号常量MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。(1)sym函数sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：符号量名=sym('符号字符串')该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。2020/8/115(2)syms函数函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：syms符号变量名1符号变量名2…符号变量名n用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。2020/8/1162.建立符号表达式含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：(1)利用单引号来生成符号表达式。(2)用sym函数建立符号表达式。(3)使用已经定义的符号变量组成符号表达式。2020/8/1174.符号表达式的化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(s):应用函数规则对s进行化简。[r,how]=simple(S):通过对表达式尝试多种不同的算法进行化简，以寻求符号表达式S的最简形式;r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法，simple函数综合使用了下列化简方法：simplify函数对表达式进行化简；simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。2020/8/118函数subs是用指定符号替换符号表达式中的某一特定符号，调用格式为：R=subs(S,old,new)，它可用新的符号变量new替换原来符号表达式S中的old.当new为数值形式时，显示的结果虽然是数值，但它事实上是符号变量。2020/8/1197.2.3符号积分符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。2020/8/120int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。例9-3求积分2sinxxdx解：（１）Matlab代码为clear;symsx;int(x^2*sin(x))运行结果为ans=-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)。用int及数值积分命令计算24-2xdx解：（１）先用int命令求精确值，相应的Matlab代码为clear;symsx;int(x^4,x,-2,2)运行结果为ans=64/5用trapz求数值解，相应的Matlab代码为clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4;%积分步长为0.1（可改变，演示）trapz(x,y)运行结果为ans=12.8533用quad命令，先编写M文件%M函数fun1.mfunctiony=fun1(x)y=x.^4;MATLAB代码为clear;quad(‘fun1’,-2,2)vpa(quad(‘fun1’,-2,2),10)%以10位有效数字显示运行结果为ans=12.8000，ans=12.80000000计算数值积分(sincos),:2,0DyxxydxdyDxy解(1)用dblquad命令求解：functionz=fun3(x,y)z=y*sin(x)+x*cos(y);用dblquad命令求解，相应的Matlab代码为Q=dblquad(@fun3,pi,2*pi,0,pi)运行结果为Q=-9.869604377254573先编写M文件%M函数fun3.m(2)用int命令求解：先将重积分化成累次积分：20(sincos)(sincos)DyxxydxdyyxxydydxMATLAB代码为clear;symsxy;int(int(’y*sin(x)+x*cos(y)’,y,0,pi),x,pi,2*pi)运行结果为ans=-pi^2计算数值积分(sincos),:0,01,11VyxzxdxdydzVxyz先编写M文件%M函数fun4.mfunctionf=fun4(x,y,z)f=y*sin(x)+z*cos(x);用dblquad命令求解，相应的Matlab代码为Q=triplequad(@fun4,0,pi,0,1,-1,1)运行结果为Q=1.999999994362637解：(1)用dblquad命令求解(2)用int命令求解：先将重积分化成累次积分：11001(sincos)(sincos)VyxzxdxdydzyxzxdzdydxMATLAB代码为clear;symsxyz;int(int(int(’y*sin(x)+z*cos(x)’,z,-1,1),y,0,1),x,0,pi)运行结果为ans=2