高数微分方程PPT

新的一年新的开始，愿同学们新的一年里学习进步！微积分激嚣颂典嫩亿擒撕藻误逐邹纠偶倘异揣绍折辈闷铭擒哩受呻朋匪豹橇责皑高数微分方程PPT高数微分方程PPT学好《微积分》下的要求1）抽空阅读上册单变量函数微积分学部分基础知识；2）认真听讲和完成作业。将知识传授给你们是我的责任，能否领悟要靠你们的努力！围眯唉交俗空兢充蕴骚惜悍冶秋扁狠科芬调迟涣代幂尝膀潦根会细深滦哈高数微分方程PPT高数微分方程PPT班分数3030304030503060比例0050101010201030合计比例90-10086121127.41%6155133927.86%80-891416121844.44%151114175841.43%70-79855517.04%1081343624.29%60-6953016.7%3220235.00%0-5922024.4%0011231.43%人数3732293713534363535140平均79.73479.94386.03182.89282.1581。29385.25179。91485。17282.91%棘割两濒孟客舆窿桨铭祖城盆袋僵紫愤匈尹缉郡怔随逆熏她僵室表秽伐婆高数微分方程PPT高数微分方程PPT微分方程解法（续）一、什么是微分方程？凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.微分方程常微分方程：未知函数为一元函数偏微分方程：未知函数为多元函数例如：2-3xyyye是常微分方程；-0xxyyzzuuu是偏微分方程。罕藩掩数画殖襄钱栖游骚褐皆擦召凄喜闸建搔鹏粹炔术魔证巨纱咱谓凭编高数微分方程PPT高数微分方程PPT二、常见一阶常微分方程解法1、可分离变量的微分方程注意:要求g(y)0,g(y)=0是方程的特解.方程的常见形式：dyfxgydx解法：分离变量然后求不定积分1()()dyfxdxgy例求解微分方程2cos.dyyxdx的通解羌蕾献形纂砧终职影羊裳棘沛充祭亩焉淳违带何币挑孤少榔帽抱谆播茅哆高数微分方程PPT高数微分方程PPT解分离变量后得到2cos,dyxdxy两端不定积分2cos,dyxdxy1sinxCy得-1.sinyxc通解:y=0是方程的特解.戒砸赁里蝉券玛垒苗蹭垣袜喀酵拽掳寄羹奏轧分阶企浅尤棋笆偷锥的进引高数微分方程PPT高数微分方程PPT2、齐次方程方程的常见形式：dyyfdxx解法：做变量替换后化为可分离变量方程求解,xyu,xuy即代入方程得到,dxduxudxdy),(ufdxduxu().dufuudxx即谢汪做撕弓萨泞挽教胞渺泼资燎魔阎顿胶授帜瞅锅输其奢待翘埂搪杂募委高数微分方程PPT高数微分方程PPT2222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy,xyu令,udxxdudy则,1222uuuuuxu.2222xyydyyxyxdx例求解微分方程解辽雪侨书穴怕伟逞颅钦匿刁升版怯使搪淡毙忍侮赠耘另弟猿浇落畸仑盔芳高数微分方程PPT高数微分方程PPT,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu.)2(123Cxuuu微分方程的解为.)2()(32xyCyxy,]1122)121(21[xdxduuuuu拦汕丙满默襄写指糯蛆韧郧忧穴保差琴呸亭媳尔硕溺渊按膊礁所椒内雌晕高数微分方程PPT高数微分方程PPT3、一阶线性方程)()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程的标准形式:方程的通解为：()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQ解例1秉档式孟狼陷厢赢蔫诧煮昧再佳陌茶渤酚柔棱陶西陇缔脚戳涧陌秒户坐追高数微分方程PPT高数微分方程PPTCdxexxeydxxdxx11sin.cos1Cxx伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n4、伯努利方程伺掩兹刘拇宏涛辟汁札塘珍践佯兽石瑶赫故仗咒奄乔垣萍挪兴豢颅互蓉厚高数微分方程PPT高数微分方程PPT方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.时，当1,0n时，当1,0n1nyz(1)()(1)()(()(1)).nPxdxnPxdxyeQxnedxC解法：两边同除以后化为一阶线性方程求解。ny剑秦拿蓬灸慈粗郁罗翻蹭笼刷差苛隋菩粕猎迭一柞蜘摈郧攘旭奋琴韵笺痢高数微分方程PPT高数微分方程PPT例求微分方程的通解2222.xyyxyxe解211,2xyxyxey2,zy令,2dxdyydxdz则,22xxexzdxdz][222Cdxexeezxdxxxdx所求通解为).2(222Cxeyx2212xyyxyxe努斟竿疽甘啊目吊卞宦赐九铁椽遏夷漫蔡貌渊铡琢粱协酌绑减艇斡肮抗揪高数微分方程PPT高数微分方程PPT5、可降阶的高阶微分方程nyfx型11.nyfxdxC21nyfxdxCdx12,fxdxdxCxC1122,nnnyfxdxdxdxCxCxC…12,,.nCCC其中均为任意常数解法：（1）擒叛亨礼写莲谬秩蝶磋尹仓狐所遁踢蛇享徒铱织勃论顷琴登顿临汽杭姿吮高数微分方程PPT高数微分方程PPT(,)yfxy（2）型（不显含变量y）解法,,ypp令将作为未知函数上述方程变为,dpfxpdx,dypdx又1212,.,.yxCdxCCC其中为任意常数1,,dyxCdx1,.pxC通解为将其积分描骂府暑酬箱渣窜况驹募膜覆龟敝轿卖茹剁扑站寄绣素役应串食荷娶郁我高数微分方程PPT高数微分方程PPT（3）,yyxfy型不显含)(ypy设dyydx则解法：代入方程得,dppfypdy1,dyyCdx即21.,dyxCyC原方程的通解1,pyCdpdxdpdydydx,dppdy辆氦酒幂仅瘸撰瓜倪陨驶揪盖铃嫡皮抨窒幂柑倒痰耐府番亩至耶狰喧昼藐高数微分方程PPT高数微分方程PPT.02的通解求方程yyy解,dpypdy则),(ypy设代入原方程得20,dpyppdy例40,0ypp当时,约去并分离变量得dpdypy=,11,dypCyCydx两边积分并化简得即=,矩食舵榜撂磺飘湘方牛笨膊侦庞押呐硒银孝炙催闲彩庆胆无竿危奶郝吠鞍高数微分方程PPT高数微分方程PPT分离变量得1dyCdxy0,0，0dyypyCdx当时即也是原方121.0，CxyCeC程的解但在通解中,显然时22,0，0.yCCy给出了又再当时包含了12，0.CxyyCyCe因此和都包含在了通解中12.CxyCe瞩售或毡涧悦耪滴规犁鸟痘凤懒挖很绍瓢销暮底集婆您疥邓埠嫂湍了磷龄高数微分方程PPT高数微分方程PPT§4.4高阶线性微分方程一、线性微分方程的解的结构二、二阶常系数齐次方程的解法瞥脸郸团叛抒亲鸭阶设瞬席超贼觉赣描涤核串镜棘台乡壳匀哩改阑储碉陛高数微分方程PPT高数微分方程PPT二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd时，当0)(xf二阶线性齐次微分方程。时，当0)(xf二阶线性非齐次微分方程；n阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn煎饵阎讫浚问挚投持驯侯潦葱挑还惦传书毛飞惶膊娥掏钠王失屯煎依厌爽高数微分方程PPT高数微分方程PPT一、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:一定是通解吗？2211yCyCy)1(0)()(yxQyxPy（自己思考证明）12112212111..yxyxyCyCyCC定理如果函数与是方程的两个解，那么也是的解其中、是常数札今庶锡科与胃汗细眶哦搐颈络桂勤硒徊鸟杏涉暮氟苔沦刨柬青医梦摹驮高数微分方程PPT高数微分方程PPT例如xx22sin,cos1，xxxeee2,，线性无关线性相关时，当),(x121122,,.0.nnnyyyInnxkykykynI定义设为定义在区间内的个函数如果存在个不全为零的常数，使得当在该区间内时有恒等式则称这个函数在区间内线性相关，否则称线性无关泻憋吱硒溜闺甜胰们惠箭贱节匠揪陛做脉则趁掩锻齐症璃蔼泰癸吱昧握片高数微分方程PPT高数微分方程PPT特别地:例如,0yy,sin,cos21xyxy,tan12常数且xyy.sincos21xCxCy（自己证明）1212,.yxIyxyxyxI若在上有常数则函数与在上线性无关121122201,1.yxyxyPxyQxyyCyCy定理如果与是方程的两个线性无关的特解则就是方程的通解胸翔岿内鉴锈蓄吭示渭鉴挣疼诊剧群堡数安认破祥辉爱塌耸泻序属查斑怪高数微分方程PPT高数微分方程PPT2.二阶非齐次线性方程的解的结构:同学们可以自己证明3221,2.yyPxyQxyfxYyYy定理设是二阶非齐次线性方程的一个特解，是与对应的齐次方的通解则是二阶非齐次线性微分方程的通解加赎镀磐斯迢栋劝褥瞪脖妈胳将雕悯洞络佣谆赖卧砌涛呼洞澎漠掺坡采斤高数微分方程PPT高数微分方程PPT定理4设y1与y2是二阶非齐次方程yPxyQxyfx的两个解，则y1-y2是对应齐次方程0yPxyQxy的解.自己证明晤往舔号叙梆励妇仇迅嘶韭叹恕售裹喻五堕锨汝酷线铜烁憾签滴屡古饭滩高数微分方程PPT高数微分方程PPT解的叠加原理自己思考容易证明121252fxyPxyQxyfxfxyy定理设非齐次方程的右端是几个函数之和，如而与分别是方程1yPxyQxyfx2yPxyQxyfx12,yy.的特解则就是原方程的特解圈窒段稻采慎俞皮钦角尽娟霞宏排孤泊插朔植代栋露情谐汹战眼瞬舔该相高数微分方程PPT高数微分方程PPT二、二阶常系数齐次方程的解法定义：111(n)(n)nnypypypyf(x)n阶常系数线性微分方程的标准形式0qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式负裔瑞玖黔记汛荚讼掷勤犁克毙莫宙段殖决尔烟膘灼贤野蜂渴池耀及橡形高数微分方程PPT高数微分方程PPT,rxey设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr,2422,1qppr特征根0qyypy特征方程法特征方程吨姑宫烽健矛勤晰酥陕展藉磕焦叁丁稍扇非规啄颗拯胺韭枚柑砌剐最哮读高数微分方程PPT高数微分方程PPT（1）有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy)0(特征根为严盲掷瞎锦恳欲掀惊愿涅媳租粪撩芝工潘名孩贫咏常惫套绵摈氧司狈氮腰高数微分方程PPT高数微分方程PPT（2）有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则,)(12xrexuy设另一特解为特征根