数列复习讲义

中小学1对1课外辅导专家精锐教育网站：页电话：400—010—0868精锐教育参训教师讲义科目：高中数学参训教师：刘春影适用对象：教师年级：高三适合程度：(中等)课时：（6）×40min课题数列重点题型复习授课时间宋体五号不加粗教学目标体统掌握数列中通项公式和前n项和求法，了解数列的应用并解决数列综合题。教学内容【考试要求】考试内容考试要求ABC等差数列的通项公式√等差数列前n项和公式√等比数列的通项公式√等比数列前n项和公式√【知识梳理】知识点1一、数列的通项的求法1.公式法：①等差数列通项公式1(1)naand；②等比数列通项公式11nnaaq.2.作差法：已知nS(即12()naaafn)求na用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn.3.作商法：已知12()naaafn求na用作商法：()(1)(1),(1),(2)nfnfnfnan.4.叠加法:若1()nnaafn求na用叠加法.5.叠乘法：已知1()nnaafn,求na用叠乘法.6.构造法(构造等差、等比数列)：①形如1nnakab,1nnnakab,1nnakaanb(,kb为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求na.②形如11nnnakaba的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.二、数列求和的方法1、公式法：中小学1对1课外辅导专家精锐教育网站：页电话：400—010—0868等差数列求和公式：2)(1nnaans或2111(1)222nddSnanndnan等比数列求和公式；)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn2、分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.4、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如{}nnab的数列，其中{}na为等差数列，{}nb为等比数列，均可用此法.5、裂项相消法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.公式：12123(1)nnn；222216123(1)(21)nnnn；33332(1)2123[]nnn；2135nn；常见裂项公式：111(1)1nnnn；1111()()nnkknnk；1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]nnnnnnn；常见放缩公式：21211112()2()nnnnnnnnn.知识点2一、等差或等比数列的证明判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1、定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。2、通项公式法：①若=+（n-1）d=+（n-k）d，则na为等差数列；②若，则na为等比数列。3、中项公式法：验证都成立。知识点3一、数列的应用1、“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为：(1)2(1)(12)(1)()nnnSprprpnrpnr(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r（按复利），那么每中小学1对1课外辅导专家精锐教育网站：页电话：400—010—0868期等额还款x元应满足：12(1)(1)(1)(1)nnnprxrxrxrx(等比数列问题).【精讲精练】【例题1】★★（2011东城二模文）已知数列na的前n项和为nS,且34nnaS（*nN）。（Ⅰ）证明:数列na是等比数列；（Ⅱ）若数列nb满足*1()nnnbabnN，且12b，求数列nb的通项公式．【考点】等比数列通项与前n项和公式【分析】根据na与ns的关系可求得na，继而代入已知条件中即可得到关于数列nb的递推关系式，再利用叠加法求得通项。【解答】解：（Ⅰ）证明：由34nnaS，1n时，3411aa，解得11a.因为34nnaS，则3411nnaS(2)n，所以当2n时，1144nnnnnaSSaa，整理得143nnaa.又110a，所以na是首项为1，公比为43的等比数列.（Ⅱ）因为14()3nna，由*1()nnnbabnN，得114()3nnnbb.当2n时，有01232121)34()34()34(bbbbbbnnnnnn可得)()()(1231`21nnnbbbbbbbb中小学1对1课外辅导专家精锐教育网站：页电话：400—010—0868＝1)34(3341)34(1211nn，（2n），当1n时，21b，也满足上式，所以数列{}nb的通项公式为1)34(31nnb。【点评】本题主要考察用作差法和叠加法求数列通项的技巧，要注意1n时的情况，必要时分段书写。【巩固1】★★★数列na的前n项和rraSnn(1为不等于0，1的常数)，求其通项公式na。【考点】数列通项求法【分析】可利用na与ns的关系可求得通项公式na。【解答】解：由nnraS1可得当2n时111nnraS，)(11nnnnaarSS，1nnnraraa，,)1(1nnrara,1r11rraann，0r，}{na是公比为1rr的等比数列.又当1n时，111raS，ra111，1)1(11nnrrra。【点评】本题复习作差法求通项公式，注意题中字母的范围，必要时要分类讨论。【例题2】★★设na是首项为1的正项数列，且满足2211(1)0()nnnnnanaaanN，则它的通项公式na．【考点】数列通项公式的求法。【分析】化简已知条件中给出的递推公式，通过叠乘等式，得到通项。【解答】解：由2211(1)0nnnnnanaaa·，得11[(1)]()0nnnnnanaaa·．中小学1对1课外辅导专家精锐教育网站：页电话：400—010—0868由0na，得10nnaa，1(1)0nnnana∴，即11nnanan．∴11nnanan，12212112nnaanana，，．将以上1n个式子叠乘，得11naan．因为11a，所以1nan．【点评】形如1()(2)nnaafnn·≥的递推数列求通项适用此法。【例题3】★★★数列na，首项为1a，满足BAaann1（1A），求通项公式na。【考点】数列通项公式的求法。【分析】整理变形递推公式，构造新数列，再利用整体代换方法求得通项。【解答】解：设存在一实数，满足)(1nnaAa，即)1(1AAaann.又因为BAaann1，所以，BA)1(即：AB1.由)(1nnaAa可知数列na是首项为1a，公比为A的等比数列。故11)(nnAaa，即11)(nnAaa.代入AB1得：ABAABaann1)1(11【点评】注意此类问题中可用待定系数法求出。【巩固1】★★根据下面各个数列na的首项和递推关系，求其通项公式。⑴11,1naa)(2*Nnnan⑵11,1naa1nn)(*Nnan⑶11,1naa121na)(*Nn【考点】数列通项公式的求法。【分析】根据不同递推公式的特点，依次选择用叠加、叠乘、构造法求得各个通项。中小学1对1课外辅导专家精锐教育网站：页电话：400—010—0868【解答】解：（1）naann21，naann21，)()()(123121nnnaaaaaaaa1)1(1)1(2221212nnnnn（2）11nnaann123121nnnaaaaaaaa=nnn1132211又由题意可知，nnnaan1)1(对一切自然数n成立，11)1(11aannann.1nan（3）}2{)2(21212111nnnnnaaaaa是首项为121a公比为21的等比数列，.)21(2,)21(1211nnnnaa【点评】本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。【例题4】★★求数列11111246248162nn，，，，，的前n项和nS．【考点】分组法数列求和。【分析】此数列的通项公式是1122nnan，而数列{2}n是一个等差数列，数列112n是一个等比数列，故采用分组求和法求解．【解答】解：23411111111(2462)(1)222222nnnSnnn．【点评】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.【例题5】★★数列na为等差数列，试证明数列的前n项和。【考点】等差数列求和方法。【分析】利用等差数列的性质，倒序相加求和。【解答】证明：由题意得：，即：，两式左右分别相加，得中小学1对1课外辅导专家精锐教育网站：页电话：400—010—0868，由等差数列性质可知：121121aaaaaaaannnn所以，于是有：.这就是倒序相加法.【点评】倒序相加法主要适用于等差数列求和。【例题6】★★数列na为等比数列，试证明数列的前n项和)1(1)1()1(11qqqaqnasnn【考点】等比数列求和方法。【分析】分类讨论，当公比不为1时用错位相减法求和。【解答】证明：设等比数列na首项为1a，公比为q，则当1q时，naaa21，所以1nasn当1q时，11nnqaa11212111nnnqaqaqaqaas①nnnnqaqaqaqaqaqs11121211②①-②得：)1()1(1nnqasq，又因为1q，所以qqasnn1)1(1故)1(1)1()1(11qqqaqnasnn【点评】用错位相减法求和时要注意公比1q。【变式1】★★设数列na满足nnna3，Nn，求其前n项和ns。【考点】错位相减法求和方法的应用。【分析】仿照等比数列求和公式的推导方法进行错位相减求数列和。【解答】解：由题意得：nnns33332332①中小学1对