高中数学必修1函数的基本性质

第1页共4页高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：第2页共4页增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○2利用图象求函数的最大（小）值；○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T)=f(x)常常写作),2()2(TxfTxf若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T。四．典例解析【奇偶性典型例题】例1．以下五个函数：（1）)0(1xxy；（2）14xy；（3）xy2；（4）xy2log；（5）)1(log22xxy，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是_________点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。题型二：奇偶性的应用例2．设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=_____。例3．已知()fx奇函数，当x∈（0，1）时，1()lg1fxx，那么当x∈（－1，0）时，()fx的表达式是．例4．若奇函数()fx是定义在（1，1）上的增函数，试求a的范围：2(2)(4)0fafa．解：由已知得2(2)(4)fafa第3页共4页因f(x)是奇函数，故22(4)(4)fafa，于是2(2)(4)fafa．又()fx是定义在（1，1）上的增函数，从而22322412113321415335aaaaaaaaa或即不等式的解集是(3,2)【单调性典型例题】例1．(1)()(21),fxaxbR设函数是上的减函数则a的范围为()A．12aB．12aC．12aD．12a(2)函数2([0,)yxbxcx)是单调函数的充要条件是()A．0bB．0bC．0bD．0b(3)已知()fx在区间(,)上是减函数，,abR且0ab，则下列表达正确的是（）A．()()[()()]fafbfafbB．()()()()fafbfafbC．()()[()()]fafbfafbD．()()()()fafbfafb提示：0ab可转化为ab和ba在利用函数单调性可得.(4)如右图是定义在闭区间上的函数()yfx的图象,该函数的单调增区间为例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1yxx（2）2|23|yxx例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．例4.设)(xf是定义在R上的函数，对m、Rn恒有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf。（1）求证：1)0(f；（2）证明：Rx时恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在R上是减函数；（4）若()(2)1fxfx，求x的范围。解：(1)取m=0，n=12则11(0)()(0)22fff，因为1()02f所以(0)1f(2)设0x则0x由条件可知()fxo又因为1(0)()()()0ffxxfxfx，所以()0fx∴Rx时，恒有0)(xf（3）设12xx则121211()()()()fxfxfxfxxx=1211()()()fxfxxfx=121()[1()]fxfxx因为12xx所以210xx所以21()1fxx即211()0fxx又因为1()0fx，所以121()[1()]0fxfxx所以12()()0fxfx，即该函数在R上是减函数.(4)因为()(2)1fxfx，所以2()(2)(2)(0)fxfxfxxf所以220xx，所以20xxx的范围为或例5：（复合函数单调性）1.函数223yxx的增区间是（）.A．[3,1]B．[1,1]C．(,3)D．[1,)2.函数y＝80212xx的单调递增区间为（）第4页共4页A．(,8)B．(,1)C．(1,)D．(8,)题型五：周期问题例6．已知函数()yfx是定义在R上的周期函数，周期5T，函数()(11)yfxx是奇函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆又知()yfx在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x时函数取得最小值5。①证明：(1)(4)0ff；②求(),[1,4]yfxx的解析式；③求()yfx在[4,9]上的解析式。解：∵()fx是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)fff，又∵()(11)yfxx是奇函数，∴(1)(1)(4)fff，∴(1)(4)0ff。②当[1,4]x时，由题意可设2()(2)5(0)fxaxa，由(1)(4)0ff得22(12)5(42)50aa，∴2a，∴2()2(2)5(14)fxxx。③∵()(11)yfxx是奇函数，∴(0)0f，又知()yfx在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)fxkxx，而2(1)2(12)53f，∴3k，∴当01x时，()3fxx，从而当10x时，()()3fxfxx，故11x时，()3fxx。∴当46x时，有151x，∴()(5)3(5)315fxfxxx。当69x时，154x，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5fxfxxx∴2315,46()2(7)5,69xxfxxx。