2.2-矩阵的运算

上页下页铃结束返回首页§2.2矩阵的运算上页下页返回首页四、矩阵的转置五、矩阵的行列式一、矩阵的加法二、矩阵的数乘三、矩阵的乘法矩阵的乘法的定义、矩阵的转置及其性质矩阵加法与矩阵数乘的性质矩阵的乘法的性质结束铃上页下页铃结束返回首页一、矩阵的加法下页1.定义2.3设A与B为两个mn矩阵ABa11b11a12b12a1nb1na21b21a22b22a2nb2nam1bm1am2bm2amnbmn=。a11a12a1na21a22a2nam1am2amnA=，b11b12b1nb21b22b2nbm1bm2bmnB=，A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和，记为AB。即上页下页铃结束返回首页例1．设357220430123A=，132021570648B=，则357220430123AB=132021570648+3+15+37+22+02+20+14+53+70+01+62+43+8=48924191007611。=下页矩阵的加法：设A=(aij)mn与B=(bij)mn，则AB=(aijbij)mn。上页下页铃结束返回首页2.运算规律注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时,设A,B,C为同型矩阵,则(1)A+B=B+A(加法交换律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);加法运算。二者才能进行上页下页铃结束返回首页3.负矩阵与矩阵减法若记-A=(-aij),则称-A为矩阵A的负矩阵.显然有A+(-A)=O.定义矩阵的差为：A-B=A+(-B).其中O是与A同型的零矩阵;.3459=C例如，C的负矩阵为:.C=3459上页下页铃结束返回首页a11a12a1na21a22a2nam1am2amnA=，定义4.4设A=(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA。即ka11ka12ka1nka21ka22ka2nkam1kam2kamnkA=。下页二、数与矩阵相乘（数乘）上页下页铃结束返回首页矩阵的数乘：设A=(aij)mn，则kA=(kaij)mn。例2．设357220430123A=，则3A357220430123=3333537323230343330313233=915216601290369=。下页上页下页铃结束返回首页行列式的某行（或列）有公因子即可提出,但矩阵的每一个元素都有公因子时才可以提出.思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么区别？答：数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的某一行（或列）；而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的每一个元素。即：上页下页铃结束返回首页2.数乘矩阵满足的运算律设A,B为同型矩阵,λ,μ为常数，则(1)(λμ)A=λ(μA);结合律(2)(λ+μ)A=λA+μA.分配律(3)λ(A+B)=λA+λB.分配律矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。上页下页铃结束返回首页例3．设357220430123A=，132021570648B=，求3A2B。解：3A2B357220430123=313202157064822640421014012816915216601290369=。7917622250927=9215621460640212109140031268916=下页上页下页铃结束返回首页例4．已知357220430123A=，132021570648B=，且A2X=B，求X。解：)(21ABX==52504110252221=2/512/5022/12/1012/511。下页练习上页下页铃结束返回首页定义2.5设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：构成的mn矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积，记为C=AB。下页则由元素cij=ai1b1jai2b2jaisbsj(i=1,2,,m；j=1,2,,n)。a11a12a1sa21a22a2sam1am2amsA=，b11b12b1nb21b22b2nbs1bs2bsnB=，c11c12c1nc21c22c2ncm1cm2cmnAB=。即三、矩阵的乘法上页下页铃结束返回首页B=，求AB及BA。A=，例5．设231231123210解：231231123210AB==678下页上页下页铃结束返回首页B=，求AB及BA。A=，例5．设231231123210解：231231123210AB==678303；下页上页下页铃结束返回首页B=，求AB及BA。A=，例5．设231231123210解：231231123210AB==678309735；下页上页下页铃结束返回首页B=，求AB及BA。A=，例5．设231231123210231231123210BA==4983，解：231231123210AB==678309735；下页上页下页铃结束返回首页例6．设A=，4221B=，求AB及BA。4263AB=42214263解：3216168=，BA=422142630000=，B=，求AB及BA。A=，例5．设231231123210解：AB=678309735,BA=4983。下页上页下页铃结束返回首页例6．设A=，4221B=，求AB及BA。4263AB=解：3216168，BA=0000，B=，求AB及BA。A=，例5．设231231123210解：AB=678309735,BA=4983。可见，矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA。两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而AB=O推不出A=O或B=O。下页练习上页下页铃结束返回首页1110例7．设A=，B=，求AB及BA。2110解：11102110AB=3110=，21101110BA=3110=，显然AB=BA。如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换。下页上页下页铃结束返回首页解：设可交换的一切矩阵。例8．求与矩阵A=010001000B=，abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=那么，，下页上页下页铃结束返回首页解：设可交换的一切矩阵。例8．求与矩阵A=010001000B=，abca1b1c1a2b2c2AB那么a1b1c1a2b2c2000=，BA0ab0a1b10a2b2=。令AB=BA，则有a1=a2=b2=0，b1=c2=a，c1=b。于是与A可交换的矩阵为Babc0ab00a=，其中a，b，c为任意数。下页上页下页铃结束返回首页例9．设=3021A，=4001B，=0011C，则有=00113021AC=0011，=00114001BC=0011，显然AC=BC，但AB。矩阵乘法不满足消去律。=00113021AC=0011，=00114001BC=0011，下页上页下页铃结束返回首页(1)(AB)C=A(BC)；(2)(AB)C=ACBC；(3)C(AB)=CACB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)。应注意的问题：(1)ABBA；(3)AB=OA=O或B=O。/(2)AC=BCA=B。/下页例11．证明：如果CA=AC，CB=BC，则有(AB)C=C(AB)，(AB)C=C(AB)。证：因为CA=AC，CB=BC，所以有(AB)C=ACBC=CACB=C(AB)，(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)。矩阵乘法的性质：上页下页铃结束返回首页四、方阵的幂如果A是n阶矩阵,那么AA有意义,AmAAA个也有意义,AkkAAAA个=(１)定义k个Ａ相乘称为Ａ的k次幂，记为Ａk,定义设A是n阶矩阵,k是正整数,规定Ａ1=A,Ａ2=A∙Ａ,…,Ａk+1=Ａk∙Ａ,即因此有下述定义:上页下页铃结束返回首页(2)运算规律设A为方阵,k,l为正整数,则对n阶方阵A与B一般来说,由于矩阵乘法一般不满足交换律，AkAl=注意的乘法公式不一定成立.所以初等数学中(AB)kAkBk；(A+B)2A2+2AB+B2；(A+B)(A-B)A2-B2；(Ak)l=Ak+l,Akl.上页下页铃结束返回首页定义2.6将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amn…………A=，a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn…………AT=则。例如，设x=(x1x2xn)，y=(y1y2yn)，则(y1y2yn)xTyx1x2xn==x1y1x2y1…xny1x1y2x2y2…xny2x1ynx2yn…xnyn…………。下页五、矩阵的转置上页下页铃结束返回首页转置矩阵有下列性质：(1)(AT)T=A；(2)(AB)T=ATBT；(3)(kA)T=kAT；下页a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amn…………A=，a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn…………AT=则。定义2.6将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果五、矩阵的转置(4)(AB)T=BTAT。上页下页铃结束返回首页例设A与B是两个n阶矩阵。证明：AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。证:因为A、B是对称矩阵，所以.,BBAATT==1、若AB是对称矩阵，则有,)(ABABT=于是有TABAB)(=TTAB=BA=所以A与B可交换。2、若A、B是可交换，则有,BAAB=于是有TTTABAB=)(BA=AB=所以AB是对称矩阵。证毕上页下页铃结束返回首页一个由n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即矩阵的行列式具有的运算律：(1)|AB|=|A||B|；(2)|AT|=|A|；(3)|lA|=ln|A|。a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann…………A=，a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann…………则|A|=。下页六、矩阵的行列式上页下页铃结束返回首页例12．设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=2，求||A|A|。|A|A解：||A|A|==(2)32a112a212a312a122a222a322a132a232a33a11a21a31a12a22a32a13a23a33=(2)3|A|=(2)3(2)=16。=2|A|2a112a212a312a122a222a322a132a232a33，=提问：设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=m，问|mA|=?答：m4。结束上页下页铃结束返回首页课堂练习：1、设A