函数的单调性知识点与题型归纳

word格式文档专业整理●高考明方向1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.★备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理《名师一号》P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性1.单调函数的定义word格式文档专业整理2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.注意：1、《名师一号》P16问题探究问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意x1，x2∈[a，b]且x1x2，那么①1212()()0fxfxxx⇔f(x)在[a，b]上是增函数；word格式文档专业整理1212()()0fxfxxx⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．2、《名师一号》P16问题探究问题2单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16高频考点例1规律方法(1)定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．(2)导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为减函数．注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，word格式文档专业整理则如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：《名师一号》P17高频考点例2规律方法定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)0，则1fx为减(增)函数，fx为增(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．word格式文档专业整理函数单调性的应用《名师一号》P17特色专题(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．二、例题分析：（一)函数单调性的判断与证明例1.（1）《名师一号》P16对点自测1判断下列说法是否正确(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．()(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．()(3)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．()答案：√×√word格式文档专业整理例1.（2）《名师一号》P16高频考点例1（1）(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)答案：A.例2.（1）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝axx＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．法一：定义法设－1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1x1＋1－ax2x2＋1＝ax1x2＋－ax2x1＋x1＋x2＋＝ax1－x2x1＋x2＋word格式文档专业整理∵－1x1x2，∴x1－x20，x1＋10，x2＋10.∴当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．法二：导数法注意：《名师一号》P17高频考点例1规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例1.《名师一号》P16高频考点例2（1）求函数y＝x－|1－x|的单调增区间；word格式文档专业整理y＝x－|1－x|＝1，x≥1，2x－1，x1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．例2.（1）《名师一号》P16高频考点例2（2）求函数y＝log13(x2－4x＋3)的单调区间．解析:令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log13u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋30.则x1或x3.∴函数y＝log13(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．word格式文档专业整理又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝log13u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log13(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．注意：《名师一号》P17高频考点例2规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例2.（2）(补充)21122log4logyxxword格式文档专业整理答案：增区间：1,4；减区间：10,4练习:222loglogyxx答案：增区间：2,；减区间：0,2（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小例1.（1）《名师一号》P17特色专题典例(1)已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0【规范解答】∵函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)f(2)＝0，即f(x1)0，f(x2)0.word格式文档专业整理例1.（2）《名师一号》P17特色专题典例(2)已知函数f(x)＝x2－4x＋3，x≤0，－x2－2x＋3，x0，则不等式f(a2－4)f(3a)的解集为()A．(2,6)B．(－1,4)C．(1,4)D．(－3,5)【规范解答】作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)f(3a)，可得a2－43a，整理得a2－3a－40，即(a＋1)(a－4)0，解得－1a4，所以不等式的解集为(－1,4)．注意:本例分段函数的单调区间可以并!（四）已知单调性求参数的值或取值范围例1.(1)《名师一号》P17特色专题典例(3)word格式文档专业整理已知函数2,211,22xaxxfxx满足对任意的实数x1≠x2，都有1212()()0fxfxxx成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B.－∞，138C．(－∞，2]D.138，2【规范解答】函数f(x)是R上的减函数，于是有a－20，a－122－1，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138.例2.(1)（补充）如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．word格式文档专业整理[答案][－14，0][解析](1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a0，且－1a≥4，解得－14≤a0.综上所述－14≤a≤0.例2.(2)（补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)word格式文档专业整理[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x－2a和x2a时，f′(x)0，f(x)单调增，当－2ax2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，∴a＝2.变式：若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)单调递减，则a的取值范围是？[点评]f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x＝±2是方程f′(x)＝3x2－6a＝0的两根解得a＝2.word格式文档专业整理例2.(3)（补充）若函数)2,3()(log)(321在axxxf上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．[9，12]B．[4，12]C．[4，27]D．[9，27]答案：A温故知新P23第9题若函数212log3fxxaxa在区间2,上单调递减，则实数a的取值范围是《计时双基练》P217基础7《计时双基练》P217基础8、108、设函数12axfxxa在区间2,上是增函数,那么a的取值范围是答案:1,word格式文档专业整理10、设函数xfxxaxa（2）若0a且fx在区间1,内单调递减,求a的取值范围.答案:1,（五）抽象函数的单调性例1.（补充）已知f(x)为R上的减函数，那么满足f(|1x|)f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：C解析：因为f(x)为减函数，f(|1x|)f(1)，所以|1x|1，则|x|1且x≠0，即x∈(－1,0)∪(0,1)．word格式文档专业整理练习：()yfx是定义在1,1上的增函数，解不等式2(1)(1)fxfx答案：0,1温故知新P12第8题注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例2.《计时双基练》P216培优4函数()fx的定义域为0,，且对一切0,0xy都有()()xffxfyy，当1x时，有()0fx。（1）求(1)f的值；（2）判断()fx的单调性并加以