y=Asin(wx+ψ)的图象与性质(教师版)

1sin()yAx的图象与性质【知识要点】1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3.三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．【课前小练】1.为了得到函数2sin(),36xyxR的图象,只需把函数2sin,yxxR的图象上所有的点（）A．向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B．向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C．向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D．向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案：C22.函数()2sin(),(0,)22fxx的部分图象如图所示,则,的值分别是()A．2,3B.2,6C.4,6D.4,3答案:A3.（2015高考陕西理3）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6yxk，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】由图象知：min2y，因为min3yk，所以32k，解得：5k，所以这段时间水深的最大值是max3358yk，故选C．4.函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）3.4A.4BC.0.4D答案:B【例题解析】3考点一五点法作y＝Asin(ωx＋φ)+B图像例1：（2015高考湖北理17）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x0π2π3π22πxπ35π6sin()Ax0550（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()fx的解析式；（Ⅱ）将()yfx图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到()ygx的图象.若()ygx图象的一个对称中心为5π(,0)12，求的最小值.【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6fxx；（Ⅱ）π6.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A.数据补全如下表：x0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12sin()Ax05050且函数表达式为π()5sin(2)6fxx.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6fxx，得π()5sin(22)6gxx.因为sinyx的对称中心为(π,0)k，kZ.令π22π6xk，解得ππ212kx，kZ.由于函数()ygx的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k，解得ππ23k，kZ.由0可知，当1k时，取得最小值π6.【考点定位】“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx在某一个周期内的图象，4三角函数的平移变换，三角函数的性质.【名师点睛】“五点法”描图：(1)xysin的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,0)，)1,2(，(π，0)，)1,23(，(2π，0)．(2)xycos的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,1)，)0,2(，(π，－1)，)0,23(，(2π，1)．变式1：（2014—2015武汉重点中学期末联考）设函数()sin(2)(0)fxx，()yfx图象的一条对称轴是8x（Ⅰ）求函数()yfx的单调增区间；（Ⅱ）画出函数()yfx在区间0,上的图象.5考点二：函数)sin(xAy的解析式确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，B＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ，特殊点带入.例2：（2015高考新课标1理8）函数()fx=cos()x的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为()A．13(,),44kkkZB.13(2,2),44kkkZC．13(,),44kkkZD．13(2,2),44kkkZ6【答案】D变式2：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则)0(f的值是________．变式3：已知a是实数，则函数()1sinfxaax的图象不可能．．．是（）D.C.B.A.22222221111OOOOyyyyxxxx7答案：D变式4：函数xysin的部分图象如右图，则、可以取的一组值是（）A.2，4B.3，6C.4，4D.4，45答案：C考点三：函数)sin(xAy的图像变换例3：（2015高考山东理3）要得到函数sin43yx的图象，只需要将函数sin4yx的图象（）A．向左平移12个单位B.向右平移12个单位C．向左平移3个单位D．向右平移3个单位【答案】B【解析】因为sin4sin4312yxx，所以要得到函数sin43yx的图象，只需将函数sin4yx的图象向右平移12个单位.故选B.变式5：要得到cos(3)4yx的图象，则需要把将sin(3)4yx的图象向左平移的距离最短的单位为_______答案:6点评：可先换成同名再变换，也可通过波峰或波谷的位置关系变式6：要得到函数2cosyx的图象，只需将函数2sin(2)4yx的图象上所有的点的8A横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8个单位长度B横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8个单位长度答案：C考点四：)sin(xAy型函数的图象与性质的综合应用例4：函数)62sin(3)(xxf的部分图象如图所示.（1）写出)(xf的最小正周期及图中00,yx的值；（2）求)(xf在区间]12,2[上的最大值和最小值.变式7：已知函数)20,0,0)(sin()(AxAxf的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图像上一个最低点为)2,32(M.9（1）求)(xf的解析式；（2）当,123x时，求)(xf的值域.答案：1）2sin26fxx2）1,12考点五：)sin(xAy型函数的应用举例例5：为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？10变式8：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时，返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深（单位：米）的关系表：时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深10.013.09.97.010.013.010.1710.0（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米。Ⅰ）如果该船是旅游船，1:00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽视进出港所需时间）？Ⅱ）如果该船是货船，在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气的原因该船必须在10:00之前离开港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽视出港所需时间）？11【课后练习】1．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是A.sin6yxB.sin26yxC.cos43yxD.cos26yx答案：D2.已知函数sin()yAxm的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2,直线3x是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是()A．4sin(4)6yxB．2sin(2)23yxC．2sin(4)23yxD．2sin(4)26yx答案：D3.若函数)2cos(2xy是奇函数，且在（0,4）上是增函数，则实数可能是（）A.2B.0C.2D.答案：A4．将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移4个单位长度，所得图象经过点(34,0)则ω的最小值是（）1.3AB.15.3CD.2答案：D5.（2015高考安徽理10）已知函数sinfxx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当23x时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）220fff（B）022fff（C）202fff（D）202fff【答案】A12【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.6.（2015高考湖南理9)将函数()sin2fxx的图像向右平移(0)2个单位后得到函数()gx的图像，若对满足12()()2fxgx的1x，2x，有12min3xx，则（）A.512B.3C.4D.6【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到)22sin()(xxg，又∵2|)()(|21xgxf，∴不妨kx2221，mx22222，∴)(221mkxx，又∵12min3xx，∴632，故选D.7.已知函数()2sin(2)4fxx(1)求函数的最小正周期和最大值及相应的x的取值;(2)求函数在0,上的单调减区间。答案：1)T,当38xk时，max()2fx2）37[,]88