指数函数经典例题及课后习题

WORD格式整理版学习指导参考指数函数及其基本性质指数函数的定义一般地，函数10aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.问题：指数函数定义中，为什么规定“10aa且”如果不这样规定会出现什么情况？(1)若a0会有什么问题？（如21,2xa则在实数范围内相应的函数值不存在）(2)若a=0会有什么问题？（对于0x,xa无意义）(3)若a=1又会怎么样？（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0a且1a.指数函数的图像及性质函数值的分布情况如下：WORD格式整理版学习指导参考指数函数平移问题（引导学生作图理解）用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=x2的图象的关系（作图略），⑴y=12x与y=22x.⑵y=12x与y=22x.f(x)的图象向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象;向右平移a个单位得到f(x－a)的图象;向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象;向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.WORD格式整理版学习指导参考指数函数·经典例题解析(重在解题方法)【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y3(2)y(3)y12x＝＝＝213321xx解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是≤＜．0y3及时演练求下列函数的定义域与值域（1）412xy；（2）||2()3xy；（3）1241xxy；【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．及时演练WORD格式整理版学习指导参考指数函数①②满足不等式,则它们的图象是().【例3】比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512()(3)4.54.1________3.73.6解(1)y221()x∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859解(2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．451245123232()()解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如WORD格式整理版学习指导参考例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．及时演练（1）1.72.5与1.73(2)0.10.8与0.20.8(3)1.70.3与0.93.1（４）5.31.2和7.20.2【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，aaaaannnnnnnnnnnn11111111(a0a1n1)0a1n10()()∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞aaannaaannnnnnnnnnnn1111111111()()()1a1n101【例５】已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________.【解析】解法1：∵f(x)的定义域为R，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a－120＋1＝0.∴a＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－12－x＋1＝12x＋1－a，解得a＝12.【答案】12WORD格式整理版学习指导参考【例6】解求函数＝的单调区间及值域．令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋yux5x6yuux5xx25x622()()3434u＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．－＋6xxyx25x6(][)()(][)5252345252又∵＝－＋＝≥，函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，．－＋ux5x6yuy2x25x6()()[)()(]xu5214143414340108324及时演练【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y1(x0)yux00u1ux0)y()()[()]()[()]()()[()141212121121234121212222xxxxxxxu3401212121212121412在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u1)0x110x1y11)[01](][()()()()[xxxx当x＝0时，函数y有最大值为1．【例8】已知＝＞f(x)(a1)aaxx11(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R．f(x)f(x)－＝＝－，aaaaxxxx1111∴函数f(x)为奇函数．(2)yy1a1y1x函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，aayyyyxx1111110WORD格式整理版学习指导参考即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．aaaaaaaaaaaaxlxlxxxlxxlxxxxx112121221212211()()()a1xx(1)(1)0f(x)f(x)f(x)R1212备选例题1．比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．（2）由，故．又，故．从而．（3）由，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．,2.已知2321(25)(25)xxaaaa，则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．WORD格式整理版学习指导参考解：∵2225(1)441aaa≥，∴函数2(25)xyaa在()，∞∞上是增函数，∴31xx，解得14x．∴x的取值范围是14，∞．3.解方程223380xx．解：原方程可化为29(3)80390xx，令3(0)xtt，上述方程可化为298090tt，解得9t或19t（舍去），∴39x，∴2x，经检验原方程的解是2x．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．4.为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象（）．A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935xy转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵293535xxy，∴把函数3xy的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选（C）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．5.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以931t，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。5.函数y＝a｜x｜(a1)的图像是()分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法1：(分类讨论)：去绝对值，可得y＝).0()1(),0(xaxaxx　　　　　　　　　又a1，由指数函数图像易知，应选B.解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a1，所以当x≥0时，y＝ax是增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数.∴应选B.WORD格式整理版学习指导参考指数函数练习题一．选择题：1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）511.A个512.B个1023.C个1024.D个2．在统一平面直角坐标系中，函数axxf)(与xaxg)(的图像可能是（）3．设dcba,,,都是不等于1的正数，xxxxdycybyay,,,在同一坐标系中的图像如图所示，则dcba,,,的大小顺序是（）dcbaA.cdbaB.cdabC.dcabD.4.若01x，那么下列各不等式成立的是（）xxxA2.022.xxxB22.02.xxxC222.0.xxxD2.022.5函数xaxf)1()(2在R上是减函数，则a的取值范围是（）1.aA2.aB2.aC21.aD6．函数121xy的值域是（）)1,.(A),0()0,.(B),1.(C),0()1,.(D7．当1a时，函数11xxaay是（）.A奇函数.B偶函数.C既奇又偶函数.D非奇非偶函数8．函数0.(12aayx且)1a的图像必经过点（）)1,0.(A)1,1.(B)0,2.(C)2,2.(D9．若0x是方程xx12的解，则0x（）)2.0,1.0.(A)4.0,3.0.(B)7.0,5.0.(C)1,9.0.(D10．某厂1998年的产值为a万元，预计产值每年以n％递增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（）naA1(.％13)naB1(.％12)naC1(.％11)nD1(910.％12)二．填空题：xyo1Axyo1Bxyo1Cxyo1DxayxbyxcyxdyxyoWORD格式整理版学习指导参考1．已知)(xf是指数函数，且255)23(f，则)3(f2．设10a，使不等式531222xxxxaa成立的x的集合是3．若方程0)21()41(axx有正数解，则实数a的取值范围是4．函数xxy28)13(0的定义域为5．函数xxy22的单调递增区间为三、解答题：1．设20x，求函数523421xxy的最大值和最小值。2函数0()(aaxfx且)1a在区间]2,1[上的最大值比最小值大2a，求a的值。WORD格式整理版学习指导参考3．设Ra，)(,1222)(Rxaaxfxx试确定a的值，使)(xf为奇函数。4．已知函数1762)21(xxy（1）求函数的定义域及值域；（2）确定函数的单调区间。WORD格式整理版学习指导参考5．已知函数3)21121()(xxfx（1）求函数的定义域；（2）讨论函