数列求和问题

1数列求和问题·教案教学目标1．初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．2．通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想．教学重点与难点重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和．难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的．教学过程设计（一）复习引入在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?二、复习预习通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容三、知识讲解考点1、公式法如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.21、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)]1(21[nnkSnkn考点2、分组求和法有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例求和：123235435635235nnSn解：123235435635235nnSn123246235555nn练习：求数列11111246248162nn，，，，，的前n项和nS．分析：此数列的通项公式是1122nnan，而数列{2}n是一个等差数列，数列112n是一个等比数列，故采用分组求和法求解．解：23411111111(2462)(1)222222nnnSnnn．小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.考点3、、倒序相加类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），3再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.例求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S…………..②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.5练习：已知函数222xxfx（1）证明：11fxfx；（2）求128910101010ffff的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，1928551101010101010ffffff128910101010Sffff令982110101010Sffff则两式相加得：192991010Sff所以92S.小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.4考点4、裂相相消法把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适{an}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：例、数列na的通项公式为1(1)nann，求它的前n项和nS解：1231nnnSaaaaa1111112233411nnnn=11111111112233411nnnn1111nnn小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.针对训练5、求数列1111,,,,,1223321nn的前n项和nS.练习：求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n5作业：基本练习1、等比数列{}na的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221naaaa＝________________.2、设1357(1)(21)nnSn，则nS＝_______________________.3、1111447(32)(31)nn.4、1111...243546(1)(3)nn=__________5、数列2211,(12),(122),,(1222),n的通项公式na，前n项和nS综合练习1、2222222210099654321＝____________；2、在数列{}na中，1.(1)(2)nannn，则前n项和nS；3、已知数列满足：，，（1）求，；（2）若，求数列的通项公式；{}na61a)2)(1(21nnannann2a3a(1)nnadnn{}nd6考点5错位相减类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若nnnabc，其中nb是等差数列，nc是公比为q等比数列，令112211nnnnnSbcbcbcbc则nqS122311nnnnbcbcbcbc两式相减并整理即得例4求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432……………………….②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}nb的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.练习：1、求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………………………………①14322226242221nnnS………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn7∴1224nnnS2、已知12nnan，求数列｛an｝的前n项和Sn.解：01211222(1)22nnnSnn①12121222(1)22nnnSnn②②—①得01121222221nnnnnSnn3、6、;,212,,25,23,2132nn的前n项和为_________4、数列{an}中,11161,,*5nnnaaanN，则前n项和2nS=；5、已知数列!nann，则前n项和nS=；小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列nc的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.8