2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一(下)期末数学试卷

第1页（共14页）2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量𝐴𝐵→=(1，𝑘)，𝐶𝐷→=(4，1)，若𝐴𝐵→⊥𝐶𝐷→，则k＝（）A．14B．4C．−14D．﹣42．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x﹣ex＜0，则￢p为（）A．∀x∈（﹣∞，1]，x﹣ex≥0B．∃𝑥0∈(1，+∞)，𝑥0−𝑒𝑥0≥0C．∀x∈（1，+∞），x﹣ex≥0D．∃𝑥0∈(−∞，1]，𝑥0−𝑒𝑥0≥03．（5分）已知a＞0＞b，下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．a﹣b＞1C．|𝑐|𝑎＞|𝑐|𝑏D．a3＞b34．（5分）若等差数列{an}满足a3+a2019＝4，则{an}的前2021项之和S2021＝（）A．2021B．2020C．4042D．40405．（5分）在△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则△ABC的外接圆面积等于（）A．9πB．36πC．6πD．24π6．（5分）已知角𝛼∈(0，𝜋2)，则1𝑠𝑖𝑛2𝛼+1𝑐𝑜𝑠2𝛼的最小值为（）A．2B．1C．4D．37．（5分）已知实数x，y满足约束条件{𝑥−𝑦−1≤02𝑥+𝑦−2≥0𝑥+2𝑦−4≤0，则z＝x﹣y的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．1D．28．（5分）已知直线11：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则11∥l2“的一个必要不充分条件是（）A．m＝﹣2B．m＝1C．m＝﹣2或m＝1D．m＝2或m＝19．（5分）已知实数𝑚≥√2，则直线l：mx+y+2＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣m）2＝m的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且角B=𝜋3，c＝3，则△ABC的内切圆周长为（）第2页（共14页）A．√3𝜋2B．√3𝜋4C．3𝜋4D．√3𝜋11．（5分）若圆𝐶1：(𝑥−𝑚)2+(𝑦−1)2=10(𝑚＞0)始终平分圆𝐶2：(𝑥+1)2+(𝑦+1)2=2的周长，则直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为（）A．2√5B．2√6C．2√2D．2√312．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得(2+2√2)𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵，则角B的最小值为（）A．𝜋4B．𝜋6C．𝜋3D．5𝜋12二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知单位向量𝑎→，𝑏→夹角为𝜋3，则|𝑎→−𝑏→|=．14．（5分）已知直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为．15．（5分）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：am+n＝am+an+mn，则a19＝．16．（5分）已知点P为△ABC内的一点，且𝐴𝑃→=14𝐴𝐵→+23𝐴𝐶→，则𝑆△𝐴𝐶𝑃𝑆△𝐴𝐵𝐶=．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，满分70分）17．（10分）已知圆𝐶：(𝑥−𝑚2)2+(𝑦−4)2=𝑚24−12，圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l经过点A（6，0），且与圆C相切，求直线l的方程．18．（12分）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量𝑚→=(𝑠𝑖𝑛𝐴，−𝑎)，𝑛→=(𝑏，𝑐𝑜𝑠𝐵)，𝑚→⋅𝑛→=𝑎．（1）求角B；（2）若b＝3，且sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{an}为等比数列，公比q＞0，Sn为其前n项和，且a1＝4，S3＝28．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：𝑏𝑛=𝑛⋅𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若𝑎=√2，𝑏=1，𝐴=𝜋4，求角B；（2）若𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐵+𝜋6)=12，𝑎+𝑏=4，求△ABC周长的取值范围．第3页（共14页）21．（12分）已知数列{an}各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn满足：∀𝑛∈𝑁∗，4𝑆𝑛=𝑎𝑛2+2𝑎𝑛．（1）求a1的值及数列{an}的通项公式；（2）若𝑏𝑛=1𝑛(𝑛+1)2(𝑛∈𝑁∗)，且cn＝an×bn．证明：对一切正整数n，有𝑐1+𝑐2+⋯+𝑐𝑛−1+𝑐𝑛＜32．22．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l过点M（3，3），且l⊥OM．（1）若点N（x0，y0）上直线l的动点，在圆O上是否存在一点E，使得∠ONE＝30°，若现在，求y0的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的直线，分别交圆O于A，C和B，D，设线段AC，DB的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．第4页（共14页）2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量𝐴𝐵→=(1，𝑘)，𝐶𝐷→=(4，1)，若𝐴𝐵→⊥𝐶𝐷→，则k＝（）A．14B．4C．−14D．﹣4【解答】解：∵𝐴𝐵→⊥𝐶𝐷→；∴𝐴𝐵→⋅𝐶𝐷→=4+𝑘=0；∴k＝﹣4．故选：D．2．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x﹣ex＜0，则￢p为（）A．∀x∈（﹣∞，1]，x﹣ex≥0B．∃𝑥0∈(1，+∞)，𝑥0−𝑒𝑥0≥0C．∀x∈（1，+∞），x﹣ex≥0D．∃𝑥0∈(−∞，1]，𝑥0−𝑒𝑥0≥0【解答】解：命题为全称命题，则命题p：∀x∈（1，+∞），x﹣ex＜0，则￢p为：∃𝑥0∈(1，+∞)，𝑥0−𝑒𝑥0≥0．故选：B．3．（5分）已知a＞0＞b，下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．a﹣b＞1C．|𝑐|𝑎＞|𝑐|𝑏D．a3＞b3【解答】解：因为a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣2，则可以排除A，B，当c＝0时，C选项不成立，由a＞0＞b可知a3＞b3，故D正确．故选：D．4．（5分）若等差数列{an}满足a3+a2019＝4，则{an}的前2021项之和S2021＝（）A．2021B．2020C．4042D．4040【解答】解：由数列{an}为等差数列，得a1+a2021＝a3+a2019＝4，第5页（共14页）∴S2021=(𝑎1+𝑎2021)×20212=2×2021=4042．故选：C．5．（5分）在△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则△ABC的外接圆面积等于（）A．9πB．36πC．6πD．24π【解答】解：△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=2𝑅=6，解得R＝3，所以S＝πR2＝9π，故选：A．6．（5分）已知角𝛼∈(0，𝜋2)，则1𝑠𝑖𝑛2𝛼+1𝑐𝑜𝑠2𝛼的最小值为（）A．2B．1C．4D．3【解答】解：角𝛼∈(0，𝜋2)，2α∈（0，π），则1𝑠𝑖𝑛2𝛼+1𝑐𝑜𝑠2𝛼=4𝑠𝑖𝑛22𝛼，当𝛼=𝜋4时，表达式取得最小值：4．故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足约束条件{𝑥−𝑦−1≤02𝑥+𝑦−2≥0𝑥+2𝑦−4≤0，则z＝x﹣y的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．1D．2【解答】解：作出实数x，y满足约束条件{𝑥−𝑦−1≤02𝑥+𝑦−2≥0𝑥+2𝑦−4≤0，对应的平面区域如图：由z＝x﹣y得y＝x﹣z．平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线＝x﹣z经过点A时，直线的截距最大，此时z最小．由{2𝑥+𝑦−2=0𝑥+2𝑦−4=0，解得A（0，2），此时zmin＝0﹣2＝﹣2，故选：B．第6页（共14页）8．（5分）已知直线11：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则11∥l2“的一个必要不充分条件是（）A．m＝﹣2B．m＝1C．m＝﹣2或m＝1D．m＝2或m＝1【解答】解：∵直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，若l1∥l2，则m（m+1）﹣2＝0，解得：m＝﹣2或m＝1当m＝1时，l1与l2重合，故“l1∥l2”⇔“m＝﹣2”，故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝﹣2或m＝1”，故选：C．9．（5分）已知实数𝑚≥√2，则直线l：mx+y+2＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣m）2＝m的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【解答】解：根据题意得：圆C的圆心为（﹣1，m），半径为r=√𝑚，则圆心到直线l的距离为：d=2√1+𝑚2；若要判断直线l与圆C的位置关系即是判断d与r的大小关系，即判断√𝑚与2√1+𝑚2的大小关系，⇔判断√𝑚(1+𝑚2)与2的大小关系⇔判断m3+m与4的大小关系；令函数f（m）＝m3+m，则f′（m）＝3m2+1＞0在m≥√2时恒成立，∴函数的最小值为f（√2）=2√2+√2=3√2＞4，∴√𝑚＞2√1+𝑚2⇒r＞d；∴直线l与圆C相交．故选：A．第7页（共14页）10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且角B=𝜋3，c＝3，则△ABC的内切圆周长为（）A．√3𝜋2B．√3𝜋4C．3𝜋4D．√3𝜋【解答】解：根据题意，在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，若B=𝜋3，则有b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝ac，变形可得（a﹣c）2＝0，即a＝c，又由B=𝜋3，则△ABC为边长为3的等边三角形，则△ABC的高为3×√32=3√32，故其内切圆半径r=13×3√32=√32，则△ABC的内切圆周长为l＝2πr=√3π；故选：D．11．（5分）若圆𝐶1：(𝑥−𝑚)2+(𝑦−1)2=10(𝑚＞0)始终平分圆𝐶2：(𝑥+1)2+(𝑦+1)2=2的周长，则直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为（）A．2√5B．2√6C．2√2D．2√3【解答】解：由圆𝐶1：(𝑥−𝑚)2+(𝑦−1)2=10(𝑚＞0)，得x2+y2﹣2mx﹣2y+m2﹣9＝0，由圆𝐶2：(𝑥+1)2+(𝑦+1)2=2，得x2+y2+2x+2y＝0．把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为（2m+2）x+4y﹣m2+9＝0，由题意知直线l经过圆C2的圆心（﹣1，﹣1），因而m2+2m﹣3＝0．∵m＞0，∴解得m＝1．∴圆C1的圆心坐标为（1，1），半径为√10．圆心到直线3x+4y+3＝0的距离d=|3×1+4×1+3|√32+42=2．∴直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为2×√10−4=2√6．故选：B．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得(2+2√2)𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵，则角B的最小值为（）A．𝜋4B．𝜋6C．𝜋3D．5𝜋12【解答】解：(2+2√2)𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵，由正弦定理可得：（2+2√2）sinBcosAcosC＝sinAcosBcosC+sinCcosBcosA，∴（2+2√2）sinBcosAcosC＝cosB（sinAcosC+sinCcosA）＝cosBsin（A+C）＝cosBsinB，第8页（共14页）∵sinB≠0，∴（2+2√2）cosAcosC＝cosB＝﹣cos（A+C），∴角A，B，C都为锐角，化为：tanAtanC＝3+2√2．