函数与导数之零点问题(解析版)

函数与导数之零点问题一．考情分析零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.二．经验分享1.确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．2.导数研究函数图象交点及零点问题利用导数来探讨函数)(xfy的图象与函数)(xgy的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数)()()(xgxfxh；②求导)('xh；③研究函数)(xh的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；④画出函数)(xh的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式；⑤解不等式得解.探讨函数)(xfy的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.三、题型分析（一）确定函数的零点与方程根的个数问题例1.【四川省成都七中2020届高三上半期考试，理科数学，12】函数)(xf是定义在R上的偶函数，周期是4，当2,0x时，3)(2xxf，则方程0log)(2xxf的根个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】)(xf是定义在R上的偶函数，周期是4，当2,0x时，3)(2xxf，根据性质我们可以画出函数图像，方程0log)(2xxf的根个数转化成xyxfy2log)(的交点个数，有图像可以看出，一共有5个交点，ABCDE.其中我x=8处是要仔细看图，是易错点。我们将图像放大在8x时，可以看到有两个交点。【变式训练1】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】定义在实数集R上的函数fx,满足22fxfxfx,当0,1x时,2xfxx.则函数lggxfxx的零点个数为（）A．99B．100C.198D．200【答案】B【解析】fx是偶函数,图象关于直线1x对称,周期是2,画图可得,零点个数为100,故选B.【变式训练2】【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数fx满足14fxfx,当1,14x时,lnfxx,若在1,44上,方程fxkx有三个不同的实根,则实数k的取值范围是（）A.44ln4,eB.4ln4,ln4C.4,ln4eD.4,ln4e【答案】D【解析】由题意,1,14x时lnfxx,当1,4x时,1111,1,44ln44fxfxxxx,如图4lnxkx在1,4x有两解,4lnxkx有两解,设函数24ln1n,4xlxgxgxxxgx（）在1,e上单调递减,在,4e上单调递增,4ln4ke.故选：D．【变式训练3】已知函数32()fxxaxbxc有两个极值点12,xx，若112()fxxx，则关于x的方程23(())2()0fxafxb的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】2'()32fxxaxb，12,xx是方程2320xaxb的两根，由23(())2()0fxafxb，则又两个()fx使得等式成立，11()xfx，211()xxfx，其函数图象如下：xyy=x2f(x1)=x1O如图则有3个交点，故选A.【变式训练4】若abc，则函数fxxaxbxbxcxcxa的两个零点分别位于区间（）A．,ab和,bc内B．,a和,ab内C．,bc和,c内D．,a和,c内【答案】A【解析】由abc，可得()()()0faabac，()()()0fbbcba，()()()0fccacb．显然()()0fafb，()()0fbfc，所以该函数在(,)ab和(,)bc上均有零点，故选A．（二）根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围例2.已知关于x的方程22||ln0xxaxx恰有两解，则实数a的取值范围为（）（A）1322(,2)(2,)ee（B）3122(2,2)ee（C）1322(2,2)[0,)ee（D）1322(2,2)ee【答案】C【解析】由已知得：求定义域,00,x，①当0x时，0)ln(22xaxxx整理，分离常数xxaln21，令xxxgln21)(，求导)('xg23ln2xx，令导函数等于0，得到23ex，在230e，，xxxgln21)(递减，在，23e单增，)()(23egxg极小值232e；②当0x时，0)ln(-22xaxxx整理，分离常数xxa1ln2，令xxxh1ln)(2，求导22'ln1)(xxxh，令导函数等于0，得到21ex，在21e，，)(xh单调递减，在021，e单调递增，21212)()(eehxh极小值，恰好有两个解，结合函数图像得a的取值范围为（C）1322(2,2)[0,)ee，所以正确答案是C。【变式训练1】【高2020届泸州高三第一次教学质量诊断性考试数学文科理科试题，12题】已知函数xxf3log)(的图像与函数)(xg的图像关于直线xy对称，函数)(xh的最小正周期为2的偶函数，且当1,0x时，1)()(xgxh，若函数)()(xhxkfy有三个零点，则实数k的取值范围（）A.37log1，B.35log2,2C.1,log235D.21,log37【解析】因为函数xxf3log)(的图像与函数)(xg的图像关于直线xy对称；所以：xxg3)(，再根据：13)(xxh，10x且周期4T，画出图像：函数)()(xhxkfy有三个零点xxkxkfxh3log)(13)(有三个交点，讨论k的不同情况：①0k，此时会有无数多的交点，不符合题意，舍去；②0k，此时只会有一个交点，也不符合题意，舍去；③0k,要保证有三个交点，我们做出图像：由图像可以得出：35log220)5(0)3(kkfkf【变式训练2】【第12题】已知偶函数)(xg满足)1()1(xgxg，当1,0x时，12)(xxg；若函数)()1(logk2xgxy有3个零点，则k的取值范围（）A.1,21B.1,log23C.32log21，D.21log26，【解析】由已知得：偶函数)(xg满足)1()1(xgxg，满足)()(xgxg所以)1()1()1(xgxgxg)2()(xgxg周期是2，然后是偶函数。12)(xxg的函数图像为图中红色部分；函数)()1(logk2xgxy有3个零点，偶函数周期为212)(log)(12xxxgkxh有三个交点；分类讨论k的不同情况：①0k，此时会有无数多的交点，不符合题意，舍去；②0k，此时只会有一个交点，也不符合题意，舍去；③0k,要保证有三个交点，我们做出图像：由图像可以知道：.1)13(log;1)11(log22kk121k【变式训练3】设函数)(xfxR满足()()fxfx，()(2)fxfx，且当0,1x时，3=fxx．又函数=cosgxxx，则函数()()()hxgxfx在13[,]22上的零点个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由题意()()fxfx知，所以函数()fx为偶函数，所以()(2)(2)fxfxfx，所以函数()fx为周期为2的周期函数，且(0)0f，(1)1f，而()|cos()|gxxx为偶函数，且113(0)()()()0222gggg，在同一坐标系下作出两函数在13[,]22上的图像，发现在13[,]22内图像共有6个公共点，则函数()()()hxgxfx在13[,]22上的零点个数为6，故选B．（三）根据函数零点满足条件解不等式或证明不等式例3.已知函数321()e2(4)243xfxxxaxa，其中aR，e为自然对数的底数．（1）若函数()fx的图象在0x处的切线与直线0xy垂直，求a的值；（2）关于x的不等式4()e3xfx在(2)，上恒成立，求a的取值范围；（3）讨论函数()fx极值点的个数．【解析】(1)由题意，321()e3xfxxxaxa，因为()fx的图象在0x处的切线与直线0xy垂直，所以(0)=1f，解得1a.(2)【法一】：由4()e3xfx，得3214e2(4)24e33xxxxaxa，即326(312)680xxaxa对任意(2)x，恒成立，即32636128xaxxx对任意(2)x，恒成立，因为2x，所以322612812323xxxaxx，记21()23gxx，因为gx在(2)，上单调递增，且(2)0g，所以0a≥，即a的取值范围是[0)，．【法二】：由4()e3xfx，得3214e2(4)24e33xxxxaxa，即326(312)680xxaxa在(2)，上恒成立，因为326(312)680xxaxa等价于2(2)(434)0xxxa，①当0a≥时，22434(2)30xxaxa≥恒成立，所以原不等式的解集为(2)，，满足题意．②当0a时，记2()434gxxxa，有(2)30ga，所以方程24340xxa必有两个根12,xx，且122xx，原不等式等价于12(2)()()0xxxxx，解集为12()(2)xx，，，与题设矛盾，所以0a不符合题意．综合①②可知，所求a的取值范围是[0)，．(3)因为由题意，可得321()e3xf'xxxaxa，所以()fx只有一个极值点或有三个极值点.……11分令321()3gxxxaxa，①若()fx有且只有一个极值点，所以函数()gx的图象必穿过x轴且只穿过一次，即()gx为单调递增函数或者()gx极值同号．ⅰ）当()gx为单调递增函数