集合的基本运算-课件

补集集合的基本运算课前自主预习方法警示探究思路方法技巧建模应用引路基础巩固训练名师辩误做答课前自主预习温故知新1．若A⊆B，则A∪B＝，A∩B＝.2．若A∩B＝B则BA，若A∪B＝B则AB.3．若A∪B＝A∩B，则AB.4．(2012·福建高考文科题)已知集合M＝{1,2,3,4}集合N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N⊆MB．M∪N＝MC．M∩N＝ND．M∩N＝{2}BA⊆⊆＝[答案]D[解析]N中含有元素－2，M中没有元素－2，否定A、B、C故选D.5．设P＝{m|m＝2n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，那么P∩Q等于()A．ØB．PC．QD．Z[答案]B6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]由{1,3}∪A＝{1,3,5}，知A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素．而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故选D.新课引入如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？你不可能直接去找张三、李四、王五、……一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容(补集)的现实基础．自主预习1．全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为，用字母表示．全集U2．补集如果A是全集U的一个子集，由U中所有不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集．．，记作∁UA.用描述法表示为，用Venn图表示为.{x|x∈U且x∉A}补集符号∁UA有三层含义：(1)A是U的一个子集，即A⊆U；(2)∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U；(3)∁UA是由U中所有不属于A的元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，故A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝Ø.补集的性质∁UØ＝，∁UU＝，∁U(∁UA)＝.用适当的集合填空：UØA∅∅∅∅A∅∅∅∁UA∅A∁UAAAU∁UAU∁UA通过以上所学，完成下列练习．(1)如果S＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，那么∁SA＝__________，∁SB＝________.(2)如果全集U＝N，那么N*的补集∁UN*＝________.(3)已知U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，则∁UA＝________，A∩∁UA＝________，A∪∁UA＝________.(4)已知U＝{x|x是实数}，Q＝{x|x是有理数}，则∁UQ＝________.(5)已知U＝R，A＝{x|x15}，则∁UA＝________.(6)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)＝()A．{2,3}B．{1,4,5}C．{4,5}D．{1,5}[答案](1){4,5,6,7,8}{1,2,7,8}(2){0}(3){2,4,6}∅U(4){x|x是无理数}(5){x|x≤15}(6)B[解析](6)∵A∩B＝{2,3}，∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}．思路方法技巧学法指导：1．补集符合∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．补集概念的理解12．求补集的方法求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．[例1]在下列各组集合中，U为全集，A为U的子集，求∁UA.(1)U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,5}；(2)已知全集U＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}；(3)U＝R，A＝{x|－1≤x＜2}；(4)U＝Z，A＝{x|x＝3k±1，k∈Z}．[分析](1)由补集的定义，只需在集U中将A中元素去掉，剩下元素构成的集合就是∁UA.(2)至少有一组对边平行的四边形包括两组对边分别平行的四边形和有一组对边平行、另一组对边不平行的四边形，即平行四边形和梯形，可由此入手解题．(3)因为实数与数轴上的点一一对应，则在数轴上分析A及∁UA，一目了然，如下图所示．(4)整数按除以3的余数可分成三类：被3整除的数x＝3k，k∈Z；被3除余1的数x＝3k＋1，k∈Z；被3除余2的数x＝3k－1，k∈Z.[解析](1)∁UA＝{1,3,6}；(2)∁UA＝{x|x是梯形}；(3)如上图所示，∁UA＝{x|x＜－1，或x≥2}；(4)∁UA＝{x|x＝3k，k∈Z}．规律总结：(1)要准确理解补集的含义：是由全集中所有不属于A的元素组成的集合．(2)利用数轴可以直观形象地反映问题，另外要注意分界点的取值，如本题中∁UA中含有2，不含－1.(3)求补集时，首先要正确理解全集及子集中所含的元素，找出其联系与差异，然后准确写出补集．设U＝{x|－5≤x－2，或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA、∁UB.[分析]先确定集合U、集合A的元素，再依据补集定义求解．[解析]法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．法二：可用Venn图表示则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．规律总结：(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意边界问题.学法指导：求集合交、并、补运算的方法交集、并集、补集的综合运算2[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．[解析]利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出∁UA及∁UB，再求解．如图，∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}．不等式组2x－1＞03x－6≤0的解集为A，U＝R.试求A及∁UA，并把它们分别表示在数轴上．[解析]A＝{x|2x－1＞0，且3x－6≤0}＝{x|12＜x≤2}．∁UA＝{x|x≤12，或x＞2}，在数轴上分别表示如图．规律总结：(1)在用数轴表示不等式的解集时，一定要注意不等号是否带有等号，在数轴上的点应为实心还是空心．(2)解决不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观．在集合运算中经常在数轴上进行表示，要注意求解时端点的值是否取到．(2012·浙江高考文科)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}集合Q＝{3,4,5}则P∩∁UQ＝()A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}D．{1,2}[答案]D[解析]∁UQ＝{1,2,6}，P∩∁UQ＝{1,2}．(2010·陕西高考)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}[答案]D[解析]∵B＝{x|x＜1}，∴∁RB＝{x|x≥1}，∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}.学法指导：解决这类问题一要注意数形结合，以形定数，才能相得益彰，二要注意验证端点值，做到准确无误，不然功亏一篑．[例3]已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．(1)若A⊆B，问∁RB⊆∁RA是否成立？(2)若∁RA⊆∁RB，求a的取值范围．集合运算求参数问题3[解析](1)∵A⊆B，如图(1)．∴a≥3，而∁RB＝{x|x≥a}，∁RA＝{x|x≥3}．∴∁RB⊆∁RA.即∁RB⊆∁RA成立．(2)如图(2)，∵∁RA＝{x|x≥3}，∁RB＝{x|x≥a}，∵∁RA⊆∁RB，∴a≤3.故所求a的取值范围为{a|a≤3}．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，若A∪∁RB＝R，求实数a的取值范围．[分析]与集合交、并补运算有关的求参数问题一般利用数轴分析法分析求解．[解析]∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，利用数轴画出集合A与∁RB，如下图∵A∪∁RB＝R，∴应满足a≥3故a的取值范围为{a|a≥3}．建模应用引路学法指导：“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.用“正难则反”的策略解题4补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．[例4]已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．[分析]求满足A∩B＝∅的m的取值范围―→对上述m的取值范围在R中取补集―→结论[解析]先求A∩B＝∅时m的取值范围．(1)当A＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)0，解得m－1.(2)当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则Δ＝－42－42m＋6≥0，x1＋x2＝4≥0，x1x2＝2m＋6≥0，即m≤－1，m≥－3，解得－3≤m≤－1.综上，当A∩B＝∅时，m的取值范围是{m|m≥－3}．又因为U＝R，所以当A∩B≠∅时，m的取值范围是m－3.所以，A∩B≠∅时，m的取值范围是{m|m－3}．[名师点拨](1)A∩B＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与A≠∅两种情况．A＝∅表示方程无实根．(2)B＝{x|x0}，而A∩B＝∅，故A{x|x≥0}，即已知方程的根为非负实根．(3)Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x1＋x2≥0与x1x2≥0保证了原方程两根非负．如果两根都大于1，则等价形式为x1－1＋x2－10，x1－1x2－10，而不是x1＋x22，x1x21.(4)由于A∩B≠∅，故方程x2－4x＋2m＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m－3}，结果相同．规律总结：(1)运用补集思想求参数范围的方法；①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应的参数范围；③将反面问题对应参数的范围取补集．(2)补集思想适用的情况：从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．探索延拓创新由于某些集合问题比较抽象学生处理定律比较困难，借助Venn图会使问题而解．[例5]设全集U≠∅，已知集合M、P、S之间满足关系：M＝∁UP，P＝∁US，则集合M与S之间的正确关系是()A．M＝∁USB．M＝SC．SMD．MS利用Venn图解决补集问题5[分析]研究抽象集合的关系问题，可以利用集合的Venn图去分析，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考虑进去，以防因思