1.1集合

集合的含义与表示1.1.1新课导入（1）你进入高中时，领取各种新书，有语文、数学、英语、物理、艺术等教科书，这些教科书是具有同一属性的对象；（2）在上海举办2010年世博会中，参加世博会的国家或地区都有一面属于自己的会旗（3）到直线的距离等于定长的所有的点；（4）我国从1991年——2010年的20年内所发射的所有人造卫星．像以上这些例子，都是把某些指定的对象放在一起,我们把具有某种(或某些)属性的一些对象的全体称为一个集合(set)新领取的教科书的集合（2）在上海举办2010年世博会中，参加世博会的国家或地区都有一面属于自己的会旗（3）到直线的距离等于定长的所有的点；（4）我国从1991年——2010年的20年内所发射的所有人造卫星．参加2010年世博会的会旗的集合我国从1991年——2010年的20年内所发射的人造卫星的集合到直线l的距离等于定长d的点的集合组成集合的每个对象叫做这个集合的元素(element)．元素是研究的对象，集合是一些元素组成的总体．1．给定的集合，它的元素必须是确定的．如果研究的对象不能确定，则它们不能组成集合．例如“成绩好的同学”就不能构成集合，因为一位同学是不是成绩好的同学，常常无法确定，而是因个人的理解而不同．一、集合的元素新课2．给定的集合，它的元素是互不相同的．在集合里没有相同的元素，如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合的元素具有的上述两个特征，我们习惯上称为：确定性和互异性．课堂练习练习1.下面的各组对象是否构成一个集合?(1)胖子人群；(2)方程的根；(3)1——20以内的所有素数．二、集合及与元素的关系通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素．1．元素与集合的关系若元素a属于(belong)某个集合A，就记作;aA若元素a不属于(belong)某个集合A，就记作.aA用字母A表示“我国从1991年——2010年的20年内所发射的所有人造卫星”组成的集合，用字母a表示这20年内我国所发射的某一颗人造卫星，则有.aA数学中常用数集及其记法：数集记号自然数集（非负整数集）N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R2．集合的表示法(1)列举法当集合中的元素的个数较少时，在表示集合时，可以把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”把元素括起来．这种表示集合的方法叫做列举法．例如，不大于10的正偶数的集合可以用{2，4，6，8，10}表示.地球上的四大洋组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.例1用列举法表示下列集合（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1——20以内所有素数组成的集合．课堂例题课堂练习1．用符号填空：,（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，印度_______A，英国_______A；（2）若A={x|x2=x}，则-1________A；（3）若B={x|x2+x-6=0}，则3_______B.2.试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合.3．用符号填空：,._____37,_____5.1,_____0;_____37,_____5.1,_____0;_____37,_____5.1,_____0RRQQZZNNN（2）描述法我们不能用列举法表示不等式x-73的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的．但是这个集合中的元素的共同特征是可以描述的：x∈R，且x-73，即x10.所以，我们可以把这个集合表示为D={x∈R|x10}.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．用描述法表示集合有三种语言：自然语言(即文字语言)，符号语言和图形语言．图形语言：用一条封闭曲线表示一个集合，元素放在封闭曲线内.例如，不大于6的正整数的集合的三种表示法．自然语言：不大于6的正整数的集合；符号语言：图形语言：；是整数},61|{xxx645321用符号语言表示集合的一般方法是这样的：由具有某种共同特征的元素x组成的集合可表示为{x∈A|A中元素的共同特征}．上面的花括号内有一条竖线，竖线的左侧表示集合A中的元素x及取值范围，竖线的右侧表示元素x所具有的共同特征．在元素所属的集合比较明确的情况下，也可记作{x|A中元素的共同特征}．例如一元二次方程x2-3x+2=0的根的集合可记作{x|x2-3x+2=0}锐角三角形的集合可记作{x|x是锐角三角形}.例2试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合．课堂例题课堂练习1．用描述法表示不等式4x-53的解集．2．用另一种方式表示下列集合：（1）{中华人民共和国国旗上的颜色}；（2）（3）},10,2|{NnxnxxA}3,2,1,0,1,2,3{C课堂小结本节通过实例，我们初步理解了集合的含义，知道了集合与元素之间的关系，学会了用不同的方法来表示集合．课后作业1．课本第11页习题1.1A组第1题（1）——（6），第2题（1）——（3），第3题（1）——（3），第4题（1）——（3），2．用列举法表示集合ababGxxabab集合间的基本关系1.1.2复习导入问1：对于给定的集合，它的元素具有哪些特征？答：给定的集合，其元素具有确定性和互异性的特征，用列举法表示集合时，其元素没有顺序要求，简称无序性．问2：常见的表示集合的方法有哪些？答：表示集合的方法有列举法和描述法．问3：实数有相等关系、大小关系，如5=5，57，53，等等．类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？新课请同学们讨论下列几组集合，你能发现两个集合间的关系吗？(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}(2)A={1,2,3},B={2,3,1}(3)设A为我们班级全体女生组成的集合，B为我们班级全体学生组成的集合；(4)设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}由集合中元素的无序性可知：（2）中集合A和B是同一个集合；由于两条边相等的三角形是等腰三角形，反过来等腰三角形是两条边相等的三角形，因此（4）中集合C和D的元素是一样的，这时我们说集合C和集合D相等．通过讨论可以发现：（1）和（3）具有性质：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，这时我们说集合A和集合B有包含关系．子集与集合相等（1）子集对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作读作“A含于B”（或“B包含A”）．),(ABBA或在数学中经常用图形表示集合，通常使用维恩（Venn）图，用一条封闭曲线的内部来表示集合，这种图就叫做维恩图，例如上述两个集合A和B的关系可以用下面作图表示．BBA,A子集与集合相等问：你能举出具有包含关系的两个集合吗？课堂练习练习1.写出集合{a,b,c}的所有子集。（2）集合的相等关系子集与集合相等类比实数中的大小关系：“若a≥b，且b≥a，则a=b”得到：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A和集合B中的元素是一样的，因此，集合A和集合B相等，记作A=B．（3）真子集在集合A是集合B的子集，即的情况下，这两个集合的关系有两种情况出现：1、A＝B2、A≠BBA在且A≠B的情形下，即：如果A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集（propesubset），记作BA规定：不含任何元素的集合叫做空集（emptyset），对空集，我们用一个特殊的符号表示．由于空集是一个不含任何元素的集合，我们规定：空集是任何集合的子集，即A空集是任何非空集合的真子集．问：你能举出空集的例子吗？问题：请你类比数的大小关系的结论，说一说集合之间的关系．由上述集合之间的基本关系，可以得到关于子集的下述性质：)(..1aaAA类比),,(.,,.2cacbbaCACBBA则类比则例1写出集合A={1,2,3}的所有子集，并求出集合A的所有非空真子集的个数．课堂例题例2用一个与集合A={x|x+12}相等的集合表示集合A.课堂练习练习2．用适当的符号填空：}.023|________{}1,2){6(};|________{}0){5(;________}1,0){4(};01|________{)3(};0|________{0)2(};,,________{)1(2222xxxxxxNxRxxxcbaa练习3.判断下列两个集合之间的关系：};8|{},4,2,1{)1(的约数是xxBA};,6|{},,3|{)2(NzzxxBNkkxxA}.,20|{},,104|{)3(NmmxxBNxxxA的公倍数与是课堂小结1．知识：本节课我们学习了集合之间的包含与相等关系，学习了子集、真子集与空集等概念，学习了表示这些关系与概念的符号，以及集合的Venn图表示．2．思想：本节开篇通过实数相等关系、大小关系类比联想集合之间的基本关系，并归纳得出子集的基本性质．课后作业1．课本第12页习题1.1A组第5题；.,},01|{},01|{.22的值求若已知集合aaxxTxxM集合的基本运算(1)1.1.3复习导入问题1：什么叫集合A是集合B的子集？问题2：关于子集、集合相等和空集，有哪些性质？;.1AA;,,.3CACBBA则；，则，且若BAABBA.2..4A问题3：实数有加法运算，两个集合是否也可以相加呢？考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？复习导入6,5,4,3,2,1,6,4,2,5,3,1)1(CBA是实数是无理数是有理数xxCxxBxxA,,)2(新课一、并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集（unionset）．记作:读作:“A并B”},|{BxAxxBA或BA即可用Venn图表示为图1-3-2或图1-3-3的阴影部分．BA图1-3-2图1-3-3ABBA课堂例题.9,8,7,5,3,9,8,6,4.1BABA，求设例9,8,7,6,5,4,39,8,7,5,39,8,6,4BA解：讨论：为什么集合A和B中都有元素8和9，而在并集中它们都各出现一次？.},21|{}30|{.2BAxxxBxxA求或，设例解：画出数轴可以帮助我们思考，(见图1-3-4).ABRx3210图1-3-4.},{},{.3BABA求直角三角形等腰三角形设例解：}.{形等腰三角形或直角三角BA.9,8,7,5,3,9,8,6,4.1BABA，求设例先考察例1中的集合A和B，集合{8,9}是由既属于集合A又属于集合B的所有元素所组成的．二、交集定义：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersectionset),记作．BA读作“A交B”即}.,|{BxAxxBA且可由Venn图1-3-1表示BA图1-3-1说明：集合A与B的交集是由具备这两个集合的共同性质的元素所组成，因此若两个集合没有共同特征的元素，则其交集为空集.前面图1-3-2表示时，集合A和B的并集的情形，图1-3-3表示时，集合A和B的并集的情形．ABAB图1-3-2图1-3-3ABBA课堂练习},|3{)(}|2{)(}|6{)(}|5{)()(},|3{},|2{.1****21*2*1NnnDNnnCNnnBNnnATTNnnTNnnT