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1摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统,许多抽象的控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来。因此,倒立摆系统经常被用来检验控制策略的实际效果。应用上,倒立摆广泛应用于航空航天控制、机器人,杂项顶杆表演等领域,研究倒立摆的精确控制对工业复杂对象的控制也有着重要的工程应用价值。本文以固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统为研究对象,对直线一级倒立摆模型进行了建模,控制算法的仿真对比,并得出了相应的结论。文中介绍了倒立摆的分类、特性、控制目标、控制方法等以及倒立摆控制研究的发展及其现状。利用牛顿力学方法推到了直线以及倒立摆的动力学模型,求出其传递函数及其状态空间方程。在建立了系统模型的基础下,本文还研究了倒立摆系统的线性二次型最优控制问题,并且使用了MATLAB软件进行仿真,通过改变LQR模块及状态空间模块中的参数,在仿真中取得了不同的控制效果,最终得到了最好的控制效果。关键字:一级倒立摆线性系统、数学建模、最优控制、LQR、仿真2目录1一阶倒立摆的概述................................................................................................11.1倒立摆的起源与国内外发展现状..................................................................11.2倒立摆系统的组成..........................................................................................11.3倒立摆的分类:..............................................................................................11.4倒立摆的控制方法:......................................................................................22.一阶倒立摆数学模型的建立..................................................................................32.1概述..................................................................................................................32.2数学模型的建立..............................................................................................42.4实际参数代入:..............................................................................................53.定量、定性分析系统的性能..................................................................................73.1对系统的稳定性进行分析..............................................................................73.2对系统的能空性和能观测性进行分析:.....................................................84.线性二次型最优控制设计......................................................................................94.1线性二次最优控制简介..................................................................................94.2直线一级倒立摆LQR控制算法.................................................................104.3最优控制MATLAB仿真..........................................................................18总结..............................................................................................................................21参考文献......................................................................................................................2211一阶倒立摆的概述1.1倒立摆的起源与国内外发展现状倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代,麻省理工学院的控制理论专家根据火箭助推器原理设计出来一级倒立摆实验设备。倒立摆作为一个典型的不稳定,严重非线性例证被正式提出于二十世纪六十年代后期。国内,在倒立摆系统实验平台先后出现了多种控制算法。用状态空间法设计的比例微分控制器来实现单机倒立摆的稳定控制;利用最优状态调节器实现双电机三集倒立摆实物控制;用变结构方法实现倒立摆的控制。用神经网络的自学习模糊控制器的输入输出的对比,引起其他学者的关注,之后不断出现实时学习神经网络的方法来控制倒立摆。图1一级倒立摆1.2倒立摆系统的组成倒立摆系统由计算机,运动控制卡,伺服机构,传感器和倒立摆本体五部分构成。1.3倒立摆的分类:1,根据摆杆数目的不同,可以把倒立摆分为一级,二级和三级倒立摆等22,根据摆杆间连接形式不同,可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆;3根据运动轨道的不同,可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道倒立摆;4根据控制电机的不同,可以把倒立摆分为多电机倒立摆和单电机倒立摆5根据摆杆与小车的连接方式不同,可以把倒立摆分为刚性摆和柔性摆6根据运动方式不同,可以把倒立摆分为平面倒立摆,直线倒立摆和旋转倒立摆。1.4倒立摆的控制方法:1)PID控制:该方法出现的最早,首先是对倒立摆系统进行力学分析,并在牛顿定律基础上得到运动方程,然后在平衡点附近对其进行线性化求出传递函数,最后在要求系统的特征方程应有全部左半平面的根的条件下,设计闭环系统控制器。2)状态反馈控制:极点配置法是在动态特性和稳态特性都满足的条件下,将多变量闭环倒立摆系统极点配置在期望的位置上,来设计状态反馈控制器3)线性二次型最优控制(LQR)LQR最优控制是通过寻找最佳状态反馈控制规律使期望的性能指标达到最小。32.一阶倒立摆数学模型的建立2.1概述倒立摆系统其本身是自不稳定系统,实验建模存在一些问题和困难,在忽略掉一些次要的因素后,倒立摆系统是一个典型的运动的刚体系统,可以再惯性坐标系中运用经典力学对它进行分析,来建立系统动力学方程。在忽略掉了空气阻力和各种摩擦力之后,可以讲一阶倒立摆系统抽象成小车和均匀杆组成的系统,一阶倒立摆系统的结构示意图如下:图2一阶倒立摆系统的结构示意图定义的参数为:M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数I摆杆惯量u加在小车上的力x小车位置l摆杆转动轴心到杆质心的长度摆杆与垂直向下方向的夹角(摆杆初始位置为竖直向下)得到小车和摆杆的受力图:4图3小车和摆杆的受力图2.2数学模型的建立根据牛顿第二定律对系统进行分析可以得出)sin(2222lxdtdmdtxdMdtdxbu式(1)求导可得sincos)(2mlmlxmMxbu式(2)整理可得sincos)(2mlmlxmMxbu式(3)又对系统的力矩进行分析,由力矩平衡可得Illxdtdmmglcossinsin22式(4)求导整理可得cossincoscossin22llxg式(5)因为方程为非线性方程,需做线性化处理。由于控制的目的是保持倒摆直立,因此在施加合适u的条件下,可认为、均接近零,此sin、1cos,且可忽略2和项,于是可得5ImlxmlmglmlxmMxbu式(6)联立方程并化简有22mlmMmlImMmglmluxmlb式(7)222222mlmMmlIumlIbmlbIxglmx式(8)令22mlmMmlIq式(9)选取小车的位移x及速度x、倒摆的角位置及其角速度作为状态变量,,x为输出变量病考虑恒等式dtdxdtdx、,可列出系统的状态空间表达式为uqmlqmlIxxqmMmglqmlbqglmqbmlbIxx000010000-0001022222.4实际参数代入:GIP-100-L型一阶倒立摆系统,系统内部各相关参数为:M小车质量0.5Kg;m摆杆质量0.2Kg;b小车摩擦系数0.1N/m/sec;l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m;I摆杆惯量0.006kg*m*m;T采样时间0.005秒;G=9.8N/m。将上述参数代入得实际模型:6uxxxx545.40818.1001818.314545.0-0100006727.21818.000010xy0100000173.定量、定性分析系统的性能3.1对系统的稳定性进行分析根据零极点在复平面的分布情况可以判断系统的稳定性,若系统的零极点在右办平面存在,则系统是不稳定的。在MATLAB中运行以下程序:A=[0100;0-0.18182.67270;0001;0-0.454531.18180];B=[01.818204.5455]';C=[1000;0010];D=[00]';[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)impulse(A,B,C,D)z=-4.94980.00004.94980.0000p=0-5.6041-0.14285.5651k=1.81824.545580123456x105To:Out(1)00.511.522.5302468x106To:Out(2)ImpulseResponseTime(sec)Amplitude图四、系统位移的角度脉冲响应由图可得,系统在单位脉冲的输入作用下,小车的位移和摆杆的角度都是发散的,同时,由以上程序的零极点得极点有一个大于零,因此系统不稳定。3.2对系统的能空性和能观测性进行分析:A=[0100;0-0.18182.67270;0001;0-0.454531.18180];B=[01.818204.5455]';C=[1000;0010];D=0;Qc=ctrb(A,B);Qo=obsv(A,C);rank(Qc)rank(Qo)ans=4ans=4因此系统为完全能观测和完全能控的。94线性二次型最优控制设计4.1线性二次最优控制简介最优控制理论
本文标题:一级倒立摆系统最优控制
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