高一数学函数的定义域与值域的常用方法

1高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例1.已知2211()xxxfxx，试求()fx。解：设1xtx，则11xt，代入条件式可得：2()1fttt，t≠1。故得：2()1,1fxxxx。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例2.（1）已知21()2()345fxfxxx，试求()fx；（2）已知2()2()345fxfxxx，试求()fx；解：（1）由条件式，以1x代x，则得2111()2()345ffxxxx，与条件式联立，消去1fx，则得：222845333xfxxxx。（2）由条件式，以－x代x则得：2()2()345fxfxxx，与条件式联立，消去fx，则得：2543fxxx。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例4.求下列函数的解析式：（1）已知)(xf是二次函数，且1)()1(,2)0(xxfxff，求)(xf；（2）已知xxxf2)1(，求)(xf，)1(xf，)(2xf；（3）已知xxxxxf11)1(22，求)(xf；（4）已知3)(2)(3xxfxf，求)(xf。【题意分析】（1）由已知)(xf是二次函数，所以可设)0()(2acbxaxxf，设法求出cba,,即可。（2）若能将xx2适当变形，用1x的式子表示就容易解决了。（3）设xx1为一个整体，不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解。（4）x，x同时使得)(xf有意义，用x代替x建立关于)(xf，)(xf的两个方程就行了。【解题过程】⑴设)0()(2acbxaxxf，由,2)0(f得2c，由1)()1(xxfxf，得恒等式12xbaax，得23,21ba。故所求函数的解析式为22321)(2xxxf。（2）1)1(112)(2)1(22xxxxxxf，2又)1(1)(,11,02xxxfxx。（3）设1,11,1ttxtxx则，则1)1()1(111111)1()(22222ttttxxxxxxxftf所以)1(1)(2xxxxf。（4）因为3)(2)(3xxfxf①用x代替x得3)(2)(3xxfxf②解①②式得53)(xxf。【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式)0(2acbxaxy，顶点式khxay2)(和标根式))((21xxxxay的选择；（2）已知)]([xgf求)(xf的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数方程问题，需建立关于)(xf的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现)(xf，)1(xf，则一般将式中的x用x1代替，构造另一方程。特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例3.求324xyxx的定义域。解：由题意知：204xx，从而解得：x－2且x≠±4.故所求定义域为：{x|x－2且x≠±4}。例2.求下列函数的定义域：（1）35)(xxxf；（2）xxxf11)(【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】（1）要使函数有意义，则35,0305xxxx即，在数轴上标出，即53,33,3xxx或或。故函数的定义域为]5,3()3,3()3,(.当然也可表示为5x3,33,3或或xxx。（2）要使函数有意义，则1,11,0101xxxxx所以即，从而函数的定义域为1x|x。【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x的范围的交集，利用数轴可便于解决3问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例4.已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435－617解：{1，2，3，4，5，6}。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。2()3,(),(())43xfxxgxyfgxxx例8已知求的定义域.解：2()33()3343xfxxxgxxx由又由于x2－4x＋30**联立*、**两式可解得：9339331344933933|1344xxxxx或故所求定义域为或例9.若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得24x，故定义域为2,4。三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例11.求函数231xyx的值域。解：2112312111xxyxxx，因为101x，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函数y＝2x2＋4x的值域。解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。3、判别式法例13.求函数2223456xxyxx的值域。解：2223456xxyxx可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解4得：26632663,7171y。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。4、单调性法例14.求函数23yx，x∈［4，5］的值域。解：由于函数23yx为增函数，故当x＝4时，ymin＝25；当x＝5时，ymax＝513，所以函数的值域为513,25。5、换元法例15.求函数241yxx的值域。解：令10tx，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。例3.求下列函数的值域：（1）5,4,3,2,1,12xxy（2）1xy（3）2211xxy（4）)25(,322xxxy【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数)(xfy，其值域就是指集合Ax),x(fyyC；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】（1）将，1x2y5,4,3,2,1x中计算分别代入得出函数的值域为1,19,5,73，。（2）11,0xx，即所求函数的值域为),1[或用换元法，令)0(1),0(ttytxt的值域为),1[。（3）方法一,12111222xxxy函数的定义域为R。]1,1(y,2x120,1x122。方法二yxyxyxyxxy1)1(11122222]1,1(,0112yyyx得到。故所求函数的值域为（－1，1]。（4）构造法114,25,4)1(3222xxxxxy习题讲解：51.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则f（2009）的值为()A.-1B.0C.1D.2答案:C.【解析】:由已知得2(1)log21f,(0)0f,(1)(0)(1)1fff,(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff,(4)(3)(2)0(1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）=f（5）=1,故选C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.2.设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是（）A),3()1,3(B),2()1,3(C),3()1,1(D)3,1()3,(答案：A【解析】由已知，函数先增后减再增当0x，2)(xf3)1(f令,3)(xf解得3,1xx。当0x，3,36xx。故3)1()(fxf，解得313xx或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。3.已知函数)(xf是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1()1(xfxxxf，则)25(f的值是()A.0B.21C.1D.25答案：A【解析】若x≠0，则有)(1)1(xfxxxf，取21x，则有：)21()21()21(21211)121()21(fffff（∵)(xf是偶函数，则)21()21(ff）由此得0)21(f于是，60)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(fffffff4.若1()21xfxa是奇函数，则a．答案12【解析】解法112(),()()2112xxxfxaafxfx21121()21122112122xxxxxxaaaa故5.已知函数3,1,(),1,xxfxxx若()2fx，则x.答案3log2【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的考查.由31log232xxx，122xxx无解，故应填3log2.6.记3()log(1)fxx的反函数为1()yfx，则方程1()8fx的解x．答案2【解法1】由3()log(1)yfxx，得13yx，即1()31fxx，于是由31