等比数列的前n项和及性质

2.5等比数列的前n项和第二章数列⑴×q,得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa⑵⑴－⑵，得,111nnqaaSq等比数列的前n项和nnaaaaS321设等比数列,,,,,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS⑴即说明：这种求和方法称为错位相减法11(1),,(1),.11()nnnaSaqqqq于是qqaaSnn11解:例1：求等比数列的前8项的和.,81,41,218,21,211nqa2112112188S256255注:（1）公式中涉及五个量“知三求二”(方程思想)（2）选择合适的公式，简化运算过程q≠1时，已知首项和公比，用已知首项和末项，用nnSanqa,,,,1qqaSnn1)1(1qqaaSnn11性质一：数列{an}是等比数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，(A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N*)等比数列前n项和性质例1：等比数列{an}的前n项和Sn＝2×3n＋a，则a等于()A．3B．1C．0D．－2D性质二：若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，成公比为qn的等比数列.例2：已知等比数列的前4项的和为1，且公比q=2，则数列的前8项的和等于()A.17B.16C.15D.14选A.q4S4=S8-S4所以S8=16+1=17.变式2：已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6=1，S12=3，则S18=.解析：根据Sn为等比数列{an}的前n项和，有(S12-S6)2=S6(S18-S12)，将S6=1，S12=3代入，计算得S18=7.性质3：等比数列的项数是偶数时，S偶S奇＝q；项数是奇数时S奇－a1S偶＝q.11(1),,(1),.11()nnnaSaqqqq公式：qqaaSnn11•性质一：数列{an}是等比数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，(A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N*)性质二：若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，成公比为qn的等比数列.性质三：等比数列的项数是偶数时，S偶S奇＝q；项数是奇数时S奇－a1S偶＝q.