初中数学九年级《相似三角形判定定理：AA》公开课教学设计

第3课时相似三角形判定定理3教学设计课题第3课时相似三角形判定定理3授课人教学目标知识技能1.掌握“两角分别相等的两个三角形相似”，并能应用其解决相关问题；2.能够理解直角三角形相似的特殊的判定方法的推导过程及其应用．数学思考类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定方法，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法．问题解决掌握相似三角形的判定定理，并能运用判定进行有关的证明和计算，发展应用意识．情感态度通过观察、归纳、测量、试验、推理等手段，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣，让学生在观察中学会分析，在操作中学会感知，培养学生的合情推理能力、有条理的表达能力．教学重点掌握相似三角形的判定方法，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似．教学难点相似三角形判定方法的推导及应用．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾请回答下列问题：1.我们学习过相似三角形的哪些判定方法？2.类比全等三角形的判定方法，猜想还会有怎样的方法判定两个三角形相似呢？采用类比的方法思考问题，降低知识难度，鼓励学生猜想，为学新知做好铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】观察猜想：学生观察自己手中的直角三角尺，与教师的直角三角板相对照，找形状相同的一组，判断两个直角三角形是否相似.问题：两个三角形相似是由什么条件得到的呢？图27－2－117师生活动：学生将直观印象表达出来，再进行思考，得到：三个角分别相等的两个三角形相似，从而可简化为两个角分别相等即可.通过身边的实际问题引导学生思考、猜想，为探究新知指明了方向.活动二：实践探究交流新知1.探究三角形相似的判定方法：展示问题：如图27－2－118所示，在△ABC与△A′B′C′中，若∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，试猜想：△ABC与△A′B′C′是否相似？并证明你的结论.图27－2－118师生活动：教师引导学生思考讨论，从图形的外观，绝大多数学生会猜想两个三角形相似．根据题设条件，需要构造出符合定理条件的图形：在△ABC中，作BC的平行线，且在△ABC中截得的三角形与△A′B′C′又有着非常紧密的联系(全等)，共同分析，完成证明，学生书写证明过程.图27－2－119证明：如图27－2－119，在△ABC的边AB上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC.∵∠ADE＝∠B,∠B＝∠B′，∴∠ADE＝∠B′.又∵∠A＝∠A′，AD＝A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.得出结论：判定定理：两角分别相等的两个三角形相似.用数学符号表示这个定理：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.2.探究直角三角形相似的判定方法：问题：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？图27－2－120师生总结：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.在证明相似三角形的判定定理时，方法十分特别，学生理解和应用均会产生困难，教师在引导中解析，在解析中总结，学生易于接受，易于理解，能够把握判定定理的证明过程.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1如图27－2－121，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长度.图27－2－121图27－2－122例2如图27－2－122，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE，若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.例题的设置让学生巩固了相似三角形的判定定理，并利用三角形相似求边长.【拓展提升】例3上海模拟如图27－2－123，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，给出下列条件：①∠ABD＝∠ACB；②AB2＝AD·AC；③AD·BC＝AB·BD；④AB·BC＝AC·BD.其中单独能够判定△ABD∽△ACB的有(B)图27－2－123A.1个B．2个C．3个D．4个此题是“共角型”相似三角形的典型例题，旨在让学生观察认识图形，再结合相似三角形的判定定理判定相似.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.如图27－2－124，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC∽△ADE的是(C)A.∠B＝∠DB．∠C＝∠AEDC.AB∶AD＝DE∶BCD．AB∶AD＝AC∶AE图27－2－124图27－2－1252.如图27－2－125，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是(B)A.△ABC∽△DABB．△ABC∽△DACC.△ABD∽△ACDD．以上都不对3.如图27－2－126，在△ABC中，D为AB边上一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为__∠ADE＝∠C(答案不唯一)__.图27－2－126活动三：开放训练体现应用4.如图27－2－127，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.能满足△APC与△ACB相似的条件是__①②③__(只填序号即可).图27－2－127图27－2－1285.如图27－2－128，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB＝PC·PD.通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.活动四：课堂总结反思1.课堂总结：(1)到现在，我们学习了哪些判定三角形相似的方法？(师生总结)(2)判定直角三角形相似时，应该采用什么方法呢？(3)通过本节课的学习，你能自主探索两个等腰三角形相似的特殊的判定方法吗？2.布置作业：教材第43页习题27.2第7，13题.注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]本课采用学生熟悉的三角板水到渠成地得到相似三角形的判定．整个过程易于让学生接受，并能调动学生课堂学习的积极性.②[讲授效果反思]本课补充直角三角形相似的判定方法，加强学生对特殊的三角形相似的判定方法的深入学习，本课结束后，让学生再自主探索等腰三角形相似的判定方法，为以后相似三角形的综合应用奠定基础.③[师生互动反思]从课堂交流和课堂检测来看，主要体现了探究性学习、合作性学习、体验性学习，实现了学习方式的多样化.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.【学习目标】知识技能掌握“两角分别相等的两个三角形相似”．解决问题类比三角形全等的条件，经历探索三角形相似的判定定理的过程，加深对定理的理解，通过例题及练习达到对定理巩固的目的．情感、态度与价值观经历探索三角形相似的判定定理的过程，培养观察、比较、归纳能力；经历从试验探究到归纳证明的过程，发展合情推理能力.【学习重难点】重点会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似.难点“两角分别相等的两个三角形相似”的发现、证明及其在不同背景下的灵活应用.课前延伸【知识梳理】1．若△ABC各边分别为AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，△DEF的两边分别为DE＝5cm，EF＝4cm，则当DF＝__3__cm时，△ABC∽△DEF.2．如图27－2－129，要使△ABC∽△BDC，必须具备的条件是(C)图27－2－129A．BC∶CD＝AC∶ABB．BD∶CD＝AB∶ACC.BC2＝AC·CDD.BD2＝CD·AD课内探究【探究1】如图27－2－130，在△ABC中，点D在AB边上，如果∠ACD＝∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？图27－2－130【训练1】判断题：(1)所有的正三角形都相似．(√)(2)两个等腰直角三角形是相似三角形．(√)(3)两个直角三角形一定是相似三角形．(×)(4)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形．(√)(5)顶角相等的两个等腰三角形是相似三角形．(√)(6)两个等腰三角形只要有一个角相等就相似．(×)【探究2】如图27－2－131，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA•PB＝PC•PD.图27－2－131【训练2】已知：如图27－2－132，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE.【探究3】如图27－2－133，在△ABC中，高BD，CE相交于点H.求证：(1)BHCH＝EHDH；(2)△ADE∽△ABC.图27－2－132图27－2－133图27－2－134图27－2－135【训练3】已知：如图27－2－134，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.求证：△ABC∽△CBD∽△ACD.【探究4】已知：如图27－2－135，AD为△ABC(AB＞AC)的角平分线，AD的垂直平分线和BC的延长线交于点E.求证：ED2＝EC·EB.【训练4】如图27－2－136，△ABC为正三角形，D，E分别是边AC，BC上的点(不在顶点)，∠BDE＝60°.图27－2－136(1)求证：△DEC∽△BDA；(2)若正三角形的边长为4，并设DC＝x，BE＝y，试求y与x之间的函数解析式．课后提升1．填空(填“不一定”或“一定”)：(1)两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形__不一定__相似；(2)如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形__一定__相似．2．如图27－2－137，若∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形有(C)A.2对B.3对C.4对D.5对图27－2－137图27－2－1383．如图27－2－138，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：△ABC∽△AED.4．已知：如图27－2－139，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.若AB＝4，AD＝5，AE＝6，求DF的长．图27－2－139图27－2－1405．已知：如图27－2－140，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝AD·BD；(2)若AD＝2，DB＝8，求CD的长．