中考数学复习

1实数和代数式一、重点、难点提示：1.相反数实数a的相反数是-a，零的相反数是零。（1）a,b互为相反数a+b=0。（2）在数轴上表示相反数的两点关于原点对称。2.绝对值|a|=3.算术根（1）正数a的正的n次方根叫a的n次算术根，零的算术根仍是0。（2）实数的三个非负性：|a|≥0,a2≥0,≥0(a≥0)。4.科学记数法把一大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a10。这种记数法叫做科学记数法。一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1。5.幂的运算法则：（m,n为正整数）am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn；am÷an=am-n(a≠0,mn)6.乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a±b)2=a2±2ab+b2；7.零指数和负整数指数：规定a0=1(a≠0)，a-p=(a≠0且p为正整数)28.二次根式的主要性质(1)()2=a(a≥0).(2)=|a|=注意：根式的化简相当于绝对值的化简，所以应养成化简时加绝对值的习惯，先完成这种转化，不易出错。(3)=·(a≥0,b≥0)。(4)(b≥0,a0)。二、重点例题分析例1．解答下列各题（1）已知|a|=8,|b|=2,|a-b|=b-a,求a+b的值。（2）已知a0,b0,|b||a|,试用“”将a、b、-a、-b连结起来。解：（1）∵|a|=8,∴a=±8；∵|b|=2,∴b=±2；又∵|a-b|=b-a,∴b-a≥0,∴b≥a。因此b取+2,a取-8,或b取-2,a取-8。当b=2,a=-8时,a+b=(-8)+2=-6。当b=-2,a=-8时,a+b=(-8)+(-2)=-10。（2）b-aa-b。说明（1）这里应注意绝对值定义的正确应用，若|a|=3,则a=±3,不要漏了-3；还应注意运用|a-b|=b-a这个条件进行分析，不要漏解和多出解来。3（2）解涉及有理数的绝对值、大小比较等问题时，数轴是一个十分有效的工具。画数轴，先由已知条件确定a、b所对应的点A、B，a0，A在原点右边，b0，B在原点左边，|b||a|表示B到原点的距离大于A到原点的距离，再依相反数的概念找出-a,-b所对应的点，如图所示，显然有：b-aa-b。此题还可用特殊值法求解。设a=2,b=-3,所设数字一定要符合a0,b0,|b||a|的条件，那么a=2,-a=-2,b=-3,-b=3。∴从小到大的顺序为-3，-2，2，3。即b-aa-b。例2、计算下列各题（1）(-)-2+；（2）[·(3-2)]-1+(-)8÷×3解：（1）原式＝9＋（2）原式=[×(3-2)]-1+×3×3=[]-1+=(-1)-1+=-1+=-4说明：在综合运算中搞清各种运算的意义，如乘方运算的底，负指数，零指数的意义及特殊角的三角函数值等。计算前要仔细审题，一是注意运算的顺序，不要跳步；二是灵活地运用法则，能选择简便运算的要尽可能地采用简便运算；三要特别注意运算符号是否出错。例3、计算机存储容量的基本单位是字节，用b表示，计算机中一般用Kb(千字节)或Mb（兆字节）或Gb（吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为1kb=210b,1Mb=210Kb,1Gb=210Mb。一种新款电脑的硬盘存储容量为20Gb，它相当于多少Kb?(结果用科学记数法表示，并保留三个有效数字)析解：本题目一方面考查近似数和科学记数法，另一方面考查学生收集和处理信息的能力。解答时，考生直接根据题中所提供的几个单位的换算关系，不难求出20Gb=20×210Mb=20×210×210Kb=20×1024×1024Kb≈2.10×107Kb。例4、给出下列算式：32-12=8=8×1，52-32=16=8×2，72-52=24=8×3，92-72=32=8×4，……观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。分析：观察等式，不难发现其规律：两个相邻的奇数的平方差是8的倍数。由此，设n为自然数，则相邻的两个奇数为2n-1和2n+1，用代数式表示为(2n+1)2-(2n-1)2=2×4n=8n。说明：本题以列代数式为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性，蕴含着一种数学简洁的美。同时可考查学生的观察能力和抽象概括能力，渗透从特殊到一般的辩证关系。例5、把下列多项式分解因式（1）2xn+1-6xn+4xn-1(n为自然数)；（2）(ab+1)2-(a+b)2；（3）x3+x2-x-1。解：（1）原式=2xn-1(x2-3x+2)=2xn-1(x-1)(x-2)。（2）原式=(ab+1+a+b)(ab+1-a-b)=[(ab+a)+(b+1)][(ab-a)+(1-b)]=(a+1)(b+1)(a-1)(b-1)（3）原式=(x3+x2)-(x+1)=x2(x+1)-(x+1)=(x+1)(x2-1)=(x+1)2(x-1)说明：分解因式的一般思路是：“一提、二套、三分组”。一提是指首先考虑能否提取公因式，其次考虑能否套用公式，最后考虑分组分解，分组分解的关键是在于分组后是否有公因式可提或是否能套用公式来进一步分解。5例6、（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”①=2（）②=3（）③=4（）④=5（）（2）你判断完以上各题之后发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围________。（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性。分析：本题是一道归纳猜想型试题；能较好地考查学生的归纳—猜想—验证的思维过程。答：（1）①②③④正确；（2）=n；n为大于1的自然数。（3）===n。例7、阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程。化简：-a2·+。解：原式=a-a2·+a=a-a+a=0+a=a答：上述解答过程有错误，正确解答如下：6原式=+|a|=|a|·-a2··+|a|∵－a0,∴a0。原式=-a·+a-a=-a。说明：这道题隐含着条件a0是解此题的关键，而a0时，|a|=-a。这一点是该题错误的根本原因；另外，在化简时，注意计算逻辑要严谨。例8、化简求值：已知x=,y=,求3x2-5xy+3y2的值。∵x==5-2,y==5+2,∴x+y=10,xy=1∴3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-11xy=3×102-11=289。说明：二次根式的化简、求值是一个难点。求代数式的值，采用变形后整体代入再进行计算，可使问题解答简捷。方程和不等式一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。一元二次方程的求根公式是：x=(b2-4ac≥0)。（注意符号问题）2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。73.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。当Δ0时，方程有两个不相等的实数根x1=,x2=；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=-；当Δ0时，方程没有实数根。4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=。（注意两根的和是的相反数）。以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。5.不等式的解法：解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：不等式组(ab)图示解集口诀x≥b大大取大x≤a小小取小a≤x≤b大小、小大中间找空集小小、大大找不到二、例题分析：例1.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。说明：不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分，通常借助数轴来确定其解集，这样既直观又不易错。注意除以负数时，改变不等号的方向。解：解不等式3(x-2)+82x，得x-28解不等式≥x-,得x≤-1。所以不等式组的解集是-2x≤-1。它在数轴上表示如右图所示。例2.解不等式组，并写出不等式组的整数解。说明：求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集，再按要求取特殊解。解：解不等式3(x+1)4x+2,得x1。解不等式≥，得x≥-2。所以不等式组的解集是：-2≤x1。所以不等式组的整数解是：-2，-1，0。例3.已知方程(m-2)+(m+2)x+4=0是关于x的一元二次方程。求m的值，并求此方程的两根。分析：根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数是2，而且二次项的系数不能为0，所以m2-2=2，且m-2≠0。于是可求m的值,进而求得方程的解。解：（1）依题意，得m2-2=2,且m-2≠0。∴m=±2,且m≠2。∴m=-2。（2）把m=-2代入原方程，整理得(x-5)2=1∴x-5=±1,∴x1=4,x2=6。9例4.已知x是实数，且-(x2+3x)=2，那么x2+3x的值为（）A、1B、-3或1C、3D、-1或3误解：设x2+3x=y,则原方程可变为-y=2,即y2+2y-3=0。∴y1=-3,y2=1。∴x2+3x=-3或1。故选B。剖析：因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解。当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时Δ=32-4×1×30，方程无实数解，即x不是实数，与题设不符，应舍去；当x2+3x=1时，即是x2+3x-1=0，此时Δ=32-4×1×(-1)0，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1。正确答案：选A。说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。例5.解下列方程：（1）=1，（2）x2+x-+1=0。分析（1）宜用去分母法解；（2）宜用换元法，可设x2+x=y，将原方程变为y-+1=0，先求出y，再求出x。解（1）原方程即为+-=1去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。整理，得x2-3x+2=0。∴x1=1,x2=2。经检验x=1是原方程的根，x=2是增根，∴原方程的根是x=1。10（2）设x2+x=y,则原方程可变为y-+1=0。∴y2+y-6=0,∴y1=-3,y2=2当y=-3时，x2+x=-3,x2+x+3=0,此方程无实数根，当y=2时，x2+x=2,x2+x-2=0,x1=-2,x2=1。经检验,x1=-2,x2=1都是原方程的根。∴原方程的根是x1=-2,x2=1。例6.若方程组的解x与y相等，则a的值等于（）。A、4B、10C、11D、12分析：先解方程组再将求得的解代入方程ax+(a-1)y=3中，便可求得a的值。解：解方程组，得把代入ax+(a-1)y=3,得a·+(a-1)·=3，解之，得a=11。故选C。例7.已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0，且k≤3。(1)求证：此方程总有实数根；(2)当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于4时，k的值等于多少？分析：本题没有指明关于x的方程的类型，要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。(1)证明①当k=2，方程为一元一次方程-2x+3=0，显然有实根；11②当k≠2时，方程为一元二次方程，且Δ=[-2(k-1)]2-4(k-2)(k+1)=4(3-k),∵k≤3,∴3-k≥0。即Δ≥0，此时一元二次方程有实数根。综合①、②知，原方程总有实数根。(2)设方程的两实根为x1,x2，则x1+x2=，x1x2=。由题设，x12+x22=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4。∴[]2-2·=4。整理，得k2-5k+4=0,∴k1=1,k2=4。∵k≤3,∴k=1。例8.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每