高一数学必修五第二章试题——数列(带答案)

高一数学必修五第二章试题——数列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n＋12．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝()A．2B．3C．6D．73．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为()A．49B．50C．51D．524．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝()A．45B．50C．75D．605．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18B．24C．60D．906．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的()A．第5项B．第12项C．第13项D．第6项7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为()A．54钱B．43钱C．32钱D．53钱8．已知{an}是等差数列，a3＝5，a9＝17，数列{bn}的前n项和Sn＝3n，若am＝b1＋b4，则正整数m等于()A．29B．28C．27D．269．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2且a2，a4＋2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S5＝()A．32B．62C．27D．8110．已知数列{an}前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是()A．13B．－76C．46D．7611．已知函数f(x)＝2x－1，x≤0，fx－1＋1，x0，把方程f(x)＝x的根按从小到大的顺序排列成一个数列{an}，则该数列的通项公式为()A．an＝nn－12(n∈N*)B．an＝n(n－1)(n∈N*)C．an＝n－1(n∈N*)D．an＝n－2(n∈N*)12．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，Sn为其前n项和，则S60＝()A．3690B．1830C．1845D．3660二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{an}中，a1＝10，an＋1＝an－12，则它的前n项和Sn的最大值为________．14．已知等比数列{an}为递增数列，若a1＞0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________．15．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a51＝________．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a，b，c是实数，3a，4b，5c成等比数列，且1a，1b，1c成等差数列，求ac＋ca的值．18．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1．(1)求证：数列{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．19．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．20．(本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n－1)米至50n米的扇环面记为第n区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克)(2)第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n较大时，可用(1－x)n≈1－nx进行近似计算．21．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．22．(本小题满分12分)已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1，2，3，…．(1)证明：数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)设Tn＝(1＋a1)·(1＋a2)…(1＋an)，求Tn；(3)记bn＝1an＋1an＋2，求数列{bn}的前n项和Sn，并证明Sn1．一、选择题1．答案B解析由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1．(或特值法，当n＝1时只有B项符合．)2．答案B解析S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3．3．答案D解析∵2an＋1－2an＝1，∴an＋1－an＝12．∴数列{an}是首项a1＝2，公差d＝12的等差数列．∴a101＝2＋12×(101－1)＝52．4．答案B解析∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50，∴a4＋a10＝a2＋a12＝50．5．答案C解析由a24＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，即2a1＋3d＝0．①又S8＝8a1＋562d＝32，则2a1＋7d＝8．②由①②，得d＝2，a1＝－3．所以S10＝10a1＋902d＝60．故选C．6．答案C解析162是数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项．7．答案B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则由题意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，则a－2d＝a－2×－a6＝43a＝43．故选B．8．答案A解析因为{an}是等差数列，a9＝17，a3＝5，所以6d＝17－5，得d＝2，an＝2n－1．又因为Sn＝3n，所以当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，Sn－1＝3n－1，bn＝3n－3n－1＝2·3n－1，由am＝b1＋b4，得2m－1＝3＋54，得m＝29，故选A．9．答案B解析设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，又a1＝2，则a2＝2q，a4＋2＝2q3＋2，a5＝2q4，∵a2，a4＋2，a5成等差数列，∴4q3＋4＝2q＋2q4，∴2(q3＋1)＝q(q3＋1)，由q＞0，解得q＝2，∴S5＝21－251－2＝62．故选B．10．答案B解析∵Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，∴S14＝7×(1－5)＝－28，a15＝60－3＝57，S22＝11×(1－5)＝－44，S30＝15×(1－5)＝－60，a31＝124－3＝121，∴S15＝S14＋a15＝29，S31＝S30＋a31＝61．∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76．故选B．11．答案C解析令2x－1＝x(x≤0)，易得x＝0．当0x≤1时，由已知得f(x－1)＋1＝x，即2x－1－1＋1＝2x－1＝x，则x＝1．当1x≤2时，由已知得f(x)＝x，即f(x－1)＋1＝x，即f(x－2)＋1＋1＝x，故2x－2＋1＝x，则x＝2．因此，a1＝0，a2＝1，a3＝2，结合各选项可知该数列的通项公式为an＝n－1(n∈N*)．故选C．12．答案B解析①当n为奇数时，an＋1－an＝2n－1，an＋2＋an＋1＝2n＋1，两式相减得an＋2＋an＝2；②当n为偶数时，an＋1＋an＝2n－1，an＋2－an＋1＝2n＋1，两式相加得an＋2＋an＝4n，故S60＝a1＋a3＋a5＋…＋a59＋(a2＋a4＋a6＋…＋a60)＝2×15＋(4×2＋4×6＋…＋4×58)＝30＋4×450＝1830．故选B．二、填空题13．答案105解析∵an＋1－an＝－12，∴d＝－12，又a1＝10，∴an＝－n2＋212(n∈N*)．∵a1＝100，d＝－120，设从第n项起为负数，则－n2＋2120(n∈N*)．∴n21，于是前21项和最大，最大值为S21＝105．14．答案2解析∵{an}是递增的等比数列，且a1＞0，∴q＞1．又∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq．∵an≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12(舍去)，∴公比q为2．15．答案676解析当n为正奇数时，an＋2－an＝0，又a1＝1，则所有奇数项都是1；当n为正偶数时，an＋2－an＝2，又a2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a51＝(a1＋a3＋…＋a51)＋(a2＋a4＋…＋a50)＝26a1＋25a2＋25×242×2＝676．16．答案7解析设该设备第n年的运营费用为an万元，则数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，则an＝3n－1．设该设备使用n年的运营费用总和为Tn，则Tn＝n2＋3n－12＝32n2＋12n．设n年的盈利总额为Sn，则Sn＝21n－32n2＋12n－9＝－32n2＋412n－9．由二次函数的性质可知，当n＝416时，Sn取得最大值，又n∈N*，故当n＝7时，Sn取得最大值．三、解答题17．解∵3a，4b，5c成等比数列，∴16b2＝15ac．①∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c．②由①，得4b2·15ac＝64．③将②代入③，得1a＋1c2·15ac＝64，∴1a2＋1c2＋2acac＝6415．∴ca＋ac＝3415．18．解(1)证明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n，①∴a1＋S1＝1，得a1＝12．又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②由①②两式相减得2(an＋1－1)＝an－1，即an＋1－1an－1＝12，也即cn＋1cn＝12，故数列{cn}是等比数列．(2)∵c1＝a1－1＝－12，∴cn＝－12n，an＝cn＋1＝1－12n，an－1＝1－12n－1．故当n≥2时，bn＝an－an－1＝12n－1－12n＝12n．又b1＝a1＝12也适合上式，∴bn＝12n．19．解(1)证明：∵an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴an＋2－an＋1an＋1－an＝2．∵a1＝1，a2＝3，∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1．故数列{an}的通项公式为an＝2n－1．20．解(1)设第n区的火山灰为每平方米an千克，依题意，数列{an}为等