几何法求解二面角题型分类

6.3二面角一、作点在面上的射影(作垂线)1、已知矩形ABCD中，10AB，6BC，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到1A点，且1A在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（Ⅰ）求证：1BCAD；（Ⅱ）求证：平面1ABC平面1ABD；（Ⅲ）求二面角CBDA1的余弦值．2、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F－BD－C的余弦值。3.如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A,6BC,,DE分别是,ACAB上的点,2CDBE，O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥ABCDE,其中3AO.(Ⅰ)证明:AO平面BCDE；(Ⅱ)求二面角ACDB的平面角的余弦值.4．一个三棱锥SABC的三视图、直观图如图．（1）求三棱锥SABC的体积；（2）求点C到平面SAB的距离；（3）求二面角SABC的余弦值．.COBDEACDOBEA图1图2二、过棱作垂面（线）法(作垂面)1.在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且060DAB,2PAPD,2,PB,EF分别是,BCPC的中点，（1）证明：ADDEF平面;（2）求二面角PADB的余弦值.2、如图，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于A。（1)求证：AD⊥EF;（2）求二面角AEFD的余弦值._F_F_D_E_B_A_E_A_/_D_C_B3、如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE＝EP。（1）证明：AC⊥DE；（2）若PC＝2BC，求二面角E－AC－P的余弦值。4、如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为23的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=26,M,N分别为PB,PD的中点.(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.图4ABCA1C1B1DE三、无棱的延展半平面（作延长线或平行线）1.如图4，在三棱柱111ABCABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，1AA平面ABC，D，E分别是1CC，AB的中点.（1）求证：CE∥平面1ABD；（2）若H为1AB上的动点，当CH与平面1AAB所成最大角的正切值为152时，求平面1ABD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.2．如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD中，点E是棱1DD的中点，点F在棱1BB上，且满足12BFFB．（1）求证：11EFAC；（2）在棱1CC上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时1CG的长；（3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．C1C1DABDEF1A1B3.如图5,已知△ABC为直角三角形,∠ACB为直角.以AC为直径作半圆O,使半圆O所在平面⊥平面ABC,P为半圆周异于A,C的任意一点.(1)证明:AP⊥平面PBC(2)若PA=1,AC=BC=2,半圆O的弦PQ∥AC,求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值.4．如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD,E为PB的中点,向量,点H在AD上,且(I)证明EF//平面PAD.(II)若PH=3,AD=2,AB=2,CD=2AB,(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.5.如图5，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=DF=a5，FE=a6.（1）证明：EBFD；(2)已知点,QR为线段FBFE,上的点，23FQFE，23FRFB，求平面BED与平面RQD所成的两面角的正弦值.6.课后练习1、如图,在直三棱柱111ABCABC中，3AC，5AB,4BC，14AA，点D是AB的中点．⑴、求证：1//AC平面1CDB；⑵、求二面角1CABC的正切值．2、已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90º，2BCRB．点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB、PC．（1）求证：BC⊥PB；（2）求二面角PCDA的平面角的余弦值．ACBA1C1B1DACDBPR3、已知平面11BCCB是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线1CC的中点，AA1为母线，已知14ABACAA（I））求证：1BO⊥平面AEO；（II）求二面角1BAEO的余弦值．（Ⅲ）求三棱锥1ABOE的体积.4、长方体1111ABCDABCD中，14CC，3ABBC．（1）若EF、分别是1BC、11AC中点，求证：EF//平面1DCC；（2）求二面角11ABCD的正弦值．PABCDE5．右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，//ECPD，且2PDADEC=2.（1）求证：//BE平面PDA；（2）求证：PBDAC平面；（3）求二面角A-PB-E的余弦值。6、如图,已知三棱锥OABC的侧棱,,OAOBOC两两垂直,且1OA,2OBOC,E是OC的中点.(1)求O点到面ABC的距离；(2)求二面角EABC的正弦值.7．如图,PDCE为矩形,ABCD为梯形,平面PDCE^平面ABCD,90BADADC,1,22ABADCDaPDa.(1)若M为PA中点,求证:AC∥平面MDE;(2)求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小.ABACAEAOA