基本初等函数考点总结及习题

-1-二次函数、基本初等函数及函数的应用自主学习导引1．(2012·四川)函数y＝ax－1a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(D)2．(2012·湖北)函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(D)A．2B．3C．4D．5考题分析对于基本初等函数，高考主要考查其图象与性质，题目较容易；基本初等函数的应用、函数与方程是近几年高考的热点，考查内容一般为函数的实际应用题、函数零点个数的判定或根据零点的个数求参数的范围．题型一般为选择题或填空题，难度中等．网络构建高频考点突破考点一：二次函数【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．-2-2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝A．－b2aB．－baC．cD.4ac－b24a答案C考点二：指数函数、对数函数及幂函数【例2】(1)(2012·威海模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是(D)A．0＜a－1＜b－1＜1B．0＜b＜a－1＜1C．0＜b－1＜a＜1D．0＜a－1＜b＜1【规律总结】利用幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质求参数的范围(值)(1)幂、指、对函数的参数一般与其单调性有关，故解题时要特别关注函数的单调性；(2)在涉及函数的图象时，需注意应用函数图象与坐标轴的交点、对称性或函数图象的变换求解．[易错提示](1)涉及对数函数与幂函数时，需注意其定义域；(2)在幂函数的有关计算中，要注意参数值的验证．3．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝12lnx，c＝elnx，则A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．b＞c＞a4.（北京卷2）若0.52a，πlog3b，22πlogsin5c，则（A）A．abcB．bacC．cabD．bca5.设323log,log3,log2abc，则A.abcB.acbC.bacD.bca4．(2012·北京东城二模)已知函数f(x)＝x12，给出下列命题：①若x＞1，则f(x)＞1；②若0＜x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＞x2－x1；③若0＜-3-x1＜x2，则x2f(x1)＜x1f(x2)；④若0＜x1＜x2，则fx1＋fx22＜fx1＋x22.其中，所有正确命题的序号是________．5.已知函数F(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(A)(22,)(B)[22,)(C)(3,)(D)[3,)考点三：函数的零点【例3】(1)已知f(x)＝x＋3，x≤1，－x2＋2x＋3，x＞1，则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为A．1B．2C．3D．4(2)(2012·大同模拟)已知函数f(x)＝x－1，x＞0，2－|x|＋1，x≤0，若关于x的方程f(x)＋2x－k＝0有且只有两个不同的实根，则实数k的取值范围为________．【规律总结】1．涉及函数的零点问题的常见类型函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①数值的确定；②所在区间的确定；③个数的确定．解决这类问题的常用方法有解方程，根据区间端点函数值的符号数形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．2．确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法：若方程易解时应用此法．(2)利用零点的存在性定理．(3)利用数形结合法，尤其是当方程两端对应的函数类型不同时如绝对值、分式、指数、对数以及三角函数等方程多以数形结合法求解．【变式训练】5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案B6．(2012·泉州模拟)已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的定义域及值域均为[－a，a](常数a＞0)，其图象如图所示，则方程f[g(x)]＝0根的个数为-4-A．2B．3C．5D．6考点四：函数的实际应用【例4】(2012·莆田模拟)如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm2的照片．排版设计为纸上左右留空各3cm，上下留空各2.5cm，图间留空为1cm.照此设计，则这张纸的最小面积是________cm2.[审题导引]设照片的长为xcm，则这张纸的面积可用x来表示，即可求得其最小值．[规范解答]设照片的长为xcm，则宽为32xcm，所以纸的面积y＝(x＋6)2×32x＋6＝2(x＋6)32x＋3(x＞0)，y＝23x＋192x＋18＝6x＋64x＋6≥62x×64x＋6＝6(16＋6)＝132cm2，当且仅当x＝64x，即x＝8时等号成立．[答案]132【规律总结】应用函数知识解应用题的步骤(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解．-5-(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．【变式训练】7．(2012·日照模拟)已知正方形ABCD的边长为22，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M、N分别为线段DC、BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是答案B【押题2】已知函数f(x)＝2，x＞m，x2＋4x＋2x≤m，的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是A．(－∞，－1]B．[－1,2)C．[－1,2]D．[2，＋∞)答案B