高斯公式与斯托克斯公式——习题

1§3高斯公式与斯托克斯公式1．应用高斯公式计算下列曲面积分：（1）∫∫++Sxydxdyzxdzdxyzdydz，其中S是单位球面1222=++zyx的外侧；（2）∫∫++Sdxdyzdzdxydydzx222，其中S是立方体azyx≤≤,,0表面的外侧；（3）∫∫++Sdxdyzdzdxydydzx222，其中S是锥面222zyx=+与平面z=h所围空间区域)0(hz≤≤的表面，方向取外侧；（4）∫∫++Sdxdyzdzdxydydzx333，其中S是单位球面1222=++zyx的外侧；（5）∫∫++Szdxdyydzdxxdydz，其中S是单位球面222yxaz+−=的外侧解：（1）00==++∫∫∫∫∫VSdxdydzxydxdyzxdzdxyzdydz（2）∫∫++Sdxdyzdzdxydydzx222∫∫∫∫∫∫++=++=aaaVdzzyxdydxdxdydzzyx000)(2)(240320203)(2]2)[(2adxaxadyaayxdxaaa=+=++=∫∫∫（3）∫∫∫∫∫++=++VSdxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx)(222，由柱面坐标变换hzrhrzzryrx≤≤≤≤≤≤===,0,20,,sin,cosπθθθ原式40202)sincos(2hrdzzrrdrdhrhπθθθπ=++=∫∫∫（4）dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzxVS)(222333++=++∫∫∫∫∫214000123sin5ddrdrππϕθϕπ==∫∫∫（5）原式323)111(adxdydzdxdydzVVπ==++=∫∫∫∫∫∫2．应用高斯公式计算三重积分∫∫∫++Vdxdydzzxyzxy)(，其中V由10,0,0≤≤≥≥zyx与122≤+yx所确定的空间区域。解：原式dxdyzzdzdxyydydzxS222(21++=∫∫2∫∫∫∫∫∫+−+−=zxxyyzDDDxdxdyzdzdxxydydzy])1()1([2122∫∫∫∫∫∫−+−+−=101010210102102])1()1([21xdyxdxzdzxdxydzydy2411]1)1(21)1([21102102102=−+−+−=∫∫∫dxxxdxxydyy3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1）dzyxdyzxdxzyL)()()(222222+++++∫，其中L为1=++zyx与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；（2）zdzdydxyxL++∫32，其中L为221,zyxy+==所交的椭圆的正向.(3)dzxydyzxdxyzL)()()(−+−+−∫，其中L为以),0,0(),0,,0(),0,0,(aCaBaA为顶点的三角形沿ABCA的方向.解：(1)记L为曲面S:)1,0,0(1≤+≥≥−−=yxyxyxz的边界，由斯托克斯公式知原式∫∫−+−+−=Sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(2，且dyyyydzzydydydzzyyS)]1(21)1([)()(1021010∫∫∫∫∫−−−=−=−−0)21232(102=−−=∫dyyy同理0)()(=−=−∫∫∫∫SSdxdyyxdzdxxz，故原积分=0(2)视L为该椭圆的边界，则原式=dxdyyxdxdyyxdzdxdydzSS∫∫∫∫=−++22223)30(00由于曲面)1(:22≤+=zyyxS上任一点),,(zyx处的法向量)cos,cos,(cosγβα=n中的0cos=γ，从而由定义知∫∫=Sdxdyyx022，因此，原式=0.(3)dzxydyzxdxyzL)()()(−+−+−∫∫∫+++++=Sdxdydzdxdydz)11()11()11(22223)212121(22aaaadxdydzdxdydzS=++=++=∫∫4．求下列全微分的原函数:(1)xydzxzdyyzdx++;(2)dzxyzdyxzydxyzx)2()2()2(222−+−+−3解：(1)因xydzxzdyyzdxxyzd++=)(,故原函数为:cxyzzyxu+=),,((2)由于dzxyzdyxzydxyzxxyzzyxd)2()2()2(]2)(31[222333−+−+−=−++，故原函数为Cxyzzyxzyxu+−++=2)(31),,(3335．验证下列线积分与路线无关,并计算其值：(1)∫−−+)4,3,2()1,1,1(32dzzdyyxdx;(2)∫++++),,(),,(222222111zyxzyxzyxzdzydyxdx，其中),,(),,,(222111zyxzyx在球面2222azyx=++上.解：(1)因在2R内有dzzdyyxdxzyxd32432)413121(−+=−+，所给曲线积分与路线无关，从而原积分1275341331221−=−+=∫∫∫−dzzdyyxdx(2)在球面内有222222)(zyxzdzydyxdxzyxd++++=++，所给曲线积分与路线无关，且原式∫∫∫++++++++=212121222222122221212zzyyxxzyxzdzzyxydyzyxxdx0122222212212221221212=++++++++=zzzyxyyzyxxxzyx6．证明：由曲面S所包围的立体V的体积VΔ为∫∫++=ΔSdSzyxV)coscoscos(31γβα，其中γβαcos,cos,cos为曲面S的外法线方向余弦证：因为∫∫∫∫++=++SSzdxdyydzdxxdydzdSzyx)coscoscos(γβαVxdydzddxdydzzzyyxxVV33)(==∂∂+∂∂+∂∂=∫∫∫∫∫∫故原公式成立.7．证明：若S为封闭曲面,l为任何固定方向，则∫∫=SdSln0),cos(，其中n为曲面S的外法线方向.证：设n和l的方向余弦分别是γβαcos,cos,cos和///cos,cos,cosγβα，则///coscoscoscoscoscos),.cos(γγββαα++=ln由一.二型曲面积分之间的关系可得4∫∫=SdSln),cos(dSS)coscoscoscoscoscos(///γγββαα++∫∫///coscoscos.Sdydzdzdxdxdyαβγ=++∫∫w由l的方向固定，///cos,cos,cosγβα===RQP都是常数，故0=∂∂+∂∂+∂∂zRyQxP，由奥高公式得原式SPdydzQdzdxRdxdy=++∫∫w0)(=∂∂+∂∂+∂∂=∫∫∫dxdydzzRyQxPV8．证明公式：1cos(,)2VSdxdydzrndSr=∫∫∫∫∫w，其中s是包围V的曲面，n是S的外法线方向,222,(,,)rxyzrxyz=++=证：因为),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(znzrynyrxnxrnr++=，而rzzrryyrrxxr===),cos(,),cos(,),cos(，则由第一、二型曲面积分的关系及奥高公式可得∫∫∫∫++=SSdsznzynyxnxrdsnr)],cos(),cos(),cos([1),cos(dxdydzrzzryyrxxdxdyrzdzdxrydydzrxVS)]()()([∂∂+∂∂+∂∂=++=∫∫∫∫∫外dxdydzrV∫∫∫=12故公式成立.9．若L是平面0coscoscos=−++pzyxγβα上的闭曲线，它所包围区域的面积为S，求∫Lzyxdzdydxγβαcoscoscos其中L依正向进行.解：因βααγγβcoscos,coscos,coscosxyRzxQyP−=−=−=，故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得原式∫∫∫∫++=∂∂∂∂∂∂=DSdxdydzdxdydzRQPzyxdxdydzdxdydzγβαcoscoscos22222(coscoscos)2DdSSαβγ=++=∫∫