考研数学高等数学强化习题-定积分(计算)

模块六定积分（计算）Ⅰ经典习题一．定积分的比较1、设401tandxxxI,dxxxI402tan,则()(A)12.4II(B)12.4II(C)21.4II(D)21.4II2、设410sinxIdxx，420sinxIdxx，则()(A)124II(B)124II(C)124II(D)214II3、设函数()fx与()gx在[0,1]上连续，且()()fxgx，且对任何(0,1)C()(A)1122()()ccftdtgtdt(B)1122()()ccftdtgtdt(C)11()()ccftdtgtdt(D)11()()ccftdtgtdt4、2coscosxtxFxetdt，则Fx（）为正常数.为负常数.恒为零.不为常数.5、已知广义积分20ln1xdxx是收敛的，则它的数值（）为正数.为负数为零.无法确定正负.6、证明220sin0Ixdx.ABCDABCD二．微积分基本定理7、设2,0(),0xexfxxax，1()()xFxftdt，则()Fx在0x处（）（A）极限存在但不连续（B）连续但不可导（C）可导（D）是否可导与a的取值有关8、设0,10,00,1)(xxxxf，xdttfxF0)()(，则()(A)()Fx在0x点不连续.(B)()Fx在(,)内连续，但在0x点不可导.(C)()Fx在(,)内可导，且满足)()(xfxF.(D)()Fx在(,)内可导，但不一定满足)()(xfxF.三．定积分的基本计算方法9、设()fx为连续函数，0()stItftxdx，其中0,0ts，则I的值（）（A）依赖于,st（B）依赖于,,stx（C）依赖于,tx，不依赖于s（D）依赖于s，不依赖于t10、（1）4111dxxx（2）40xedx（3）22sin0sin21xxdxe（4）10arcsinxxdx（5）41011xdxx（6）30arcsin1xdxx（7）1214arcsin1xdxxx（8）120ln12xdxx（9）401cos2xdxx（10）2201adxxax11、设fx是连续函数，且102fxxfxdx，则fx。四．分段函数的积分12、（1）222min2,xdx（2）12121xxdx13、计算1(1),0xItdtx.14、设21,12121,)(2xxxexfx，则212(1)fxdx.15、已知2,01,()1,12,xxfxx设1()()(02),xFxftdtx则()Fx为（）（A）3,01,3,12xxxx（B）31,01,33,12xxxx（C）3,01,31,12xxxx（D）31,01,331,12xxxx五．利用函数的奇偶性16、设8444tan1xMxdxx，8244sinln1Nxxxdx，844tancoscosxxPxexexdx，则（）（A）PNM（B）NPM（C）NMP（D）PMN17、（1）11xxxedx（2）221xxedx（3）11351111xxdxx（4）121sincosxxxedx六．函数性质的讨论18、设函数()fx在(,)上连续，则下列函数中必为奇函数的是（）（A）0xftdt（B）21xftdt（C）0cosxfttdt（D）0sinxftfttdt19、已知函数()fx在(,)上连续，若fx是以T为周期的周期函数，试判断下列函数中也以T为周期的有个。（1）0xftftadt（2）03xftftdt（3）0xftftdt（4）022sinxftfttdt20、设函数()fx在(,)上连续，且0()(2)()xFxxtftdt，证明：（1）若()fx为偶函数，则()Fx也是偶函数.（2）若()fx单调不增，则()Fx单调不减.七．对称区间上的积分21、计算下列定积分（1）222cos12xxdx（2）120161121xxexdxe（3）sin22sinln1xxedx22、设函数,fxgx在(,)上连续，且满足1fxfx，gx为奇函数，则（1）证明：0aaafxgxdxgxdx（2）计算：cos22sinxxefxdx（3）计算：141sin1xfxdxx八．分部积分法、已知1(2)2f，(2)0f及20()1fxdx，求120(2)xfxdx24、设()fx连续可导，'0()()(2)xFxftfatdt，证明：2(2)2()()(0)(2)FaFafaffa25、设220axayyfxedy，计算：0afxdx26、设21yxfxedy，计算：120xfxdx27、设fx具有连续的导数，'fxfxx，'0'10ff，计算：120''11fxfxdxxx28、设221()yxfxedy，计算：31()Ifxdx.29、设20xyyfxedy，计算：1201xfxdxⅡ参考答案一．定积分的比较1、【答案】：()B【解析】：令()tanxxx，有2(0)0,()sec10,0,4xxx，所以当0,4x时()x单调递增，则()0x，即tan0xx，tan1xx，1tanxx，由定积分的不等式性质知，44412000tan14tanxxIdxdxdxIxx可见有21II且42I．2、【答案】：（A）【解析】：当0,4x时，0sin1xx因此sin1sinxxxx可知444000sin1sinxxdxdxdxxx4400sin4sinxxdxdxxx故选(A).3、【答案】：(D)【解析】：利用定积分的性质考察定积分的大小，被积函数小的积分后依然小，详解如下：01c（，），所以1c.由条件()()ftgt，所以11()()ccftdtgtdt，应该选择(D)4、【答案】：(B)5、【答案】：(C)6、【证明】：先作变量替换，220sin2ttxIdtt被积函数在[0,2]上变号，(0,)t取正值，(,2)t取负值，于是2120sinsin22ttIdtIItt把后一积分转化为(0,)上积分，然后比较被积函数，即令ts200sin()sin22stIdsdtst0111sin()02Itdttt此时被积函数1111sin()sin()22tttftttttt，若补充定义(0)0f，则()ft在[0,]上连续，且()0ft二．微积分基本定理7、【答案】：（D）【解析】：当0x，11()()xxFxftdtee当0x311()()13xxFxftdteax，故：10lim()1xFxe，10lim()1xFxe，1(0)1Fe再由：0()(0)lim10xFxFx，0()(0)lim0xFxFax，故选D。8、【答案】：(B)【解析】：先求分段函数()fx的变限积分xdttfxF0)()(，再讨论函数()Fx的连续性与可导性即可.方法1：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设()fx在[,]ab上除点,cab外连续，且xc为()fx的跳跃间断点，又设()()xcFxftdt，则(1)()Fx在,ab上必连续；(2))()(xfxF，当,xab，但xc；(3)()Fc必不存在，并且()(),()()FcfcFcfc直接利用上述结论，这里的0c，即可得出选项(B)正确.方法2：当0x时，xdtxFx0)1()(；当0x时，xdtxFx01)(，当0x时，(0)0F.即()Fxx，显然，()Fx在(,)内连续，排除选项(A)，又00(0)lim10xxFx，00(0)lim10xxFx，所以在0x点不可导.故选(B).三．定积分的基本计算方法9、【答案】：（D）【解析】：00()()sstIftxdtxtxufudu10、（1）【答案】：42ln3（2）【答案】：222e【解析】：令xt，原式22222000224222tttetdttdeeedte（3）【答案】：2ln1ee【解析】：令2sintx，则原式1110002ln(1)ln111ttttdtedteeeee（4）【答案】：8【解析】：原式211221020011111arcsinarcsin2221xxdxxxdxx121001111arcsin42242448xdxx（5）【答案】：178ln23【解析】：先令11xtx，则43004011112()28111ttItddtttt02111718[(1)]8ln213ttdtt（6）【答案】：433【解析】：令2211xttxxt故3332222322222200001arcsinarcsinarcsin11111xtttdxtdtdxtttt即可（7）【答案】：25144【解析】：先令2arcsinsintxxt，则12412246arcsin2sincos1sin1sinxtttdxdtxxtt（8）【答案】：1ln23【解析】：原式1100111111ln(1)ln2ln2.02(1)(2)3213dxxdxxxxxx（9）【答案】：1ln284【解析】：原式444200011(tan)tantan42cos220xdxxdxxxxdxx11lncosln2.424840x（10）【答案】：4【解析】：令sin,cosxatdxatdt，且0,0;,2xtxat，则2200coscossincossincosatdttdtIatattt令2ut，则022002sinsinsin()cossincossincossinuutIdududtuuuutt故20224I