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1环球雅思学科教师辅导学案辅导科目:数学年级:高一学科教师:课时数:3授课类型等差数列与通项公式教学目的掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.教学内容1、等差数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数d,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数d就叫做这个数列的公差。即1(2,)nnaadnnN2、等差中项若,,aAb成等差数列,那么A叫做,ab的等差中项。两个实数,ab的等差中项只有一个,就是这两个数的算术平均数2ab。3、等差数列的性质①等差数列的通项公式*1(1)()()nmaandanmdnN,nmaadnm。1()nadnad当0d时,它是一个一次函数。②等差数列的前n项和公式1()2nnnaas1(1)2nnnad.2211(1)()222nnnddSnadnanAnBn,当0d时,它是一个二次函数,由于其常数项为零,所以其图像过原点。③等差数列na中,如果mnpq,则mnpqaaaa,特殊地,2mpq时,则2mpqaaa,ma是pqaa、的等差中项。④等差数列被均匀分段求和后,得到的数列仍是等差数列,即232,,nnnnnSSSSS成等差数列。⑤若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.⑥S2n-1=(2n-1)an.⑦若n为偶数,则S偶-S奇=n2d,若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).2⑧若{an}与{bn}为等差数列,且前n项和分别为Sn与Sn′,则ambm=21'21nnSS5、知三求二等差数列有5个基本量,1,,,,nnadnaS,求解它们,多利用方程组的思想,知三求二。注意要弄准它们的值。6、特殊设法三个数成等差数列,一般设为,,adaad;四个数成等差数列,一般设为3,,,3adadadad。同步讲解1、等差数列的判断方法:定义法1(nnaadd为常数)或11(2)nnnnaaaan。1、设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是()A.等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列3设{}na是等差数列,求证:以bn=naaan21*nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。3、等差数列的通项:1(1)naand或()nmaanmd。4、等差数列的前n和:1()2nnnaaS,1(1)2nnnSnad。2、等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值是一个确定的常数,则数列{an}中也为常数的项是()A.S7B.S8C.S13D.S153、等差数列{an}中,已知a1=13,a2+a5=4,an=33,则n为()A.48B.49C.50D.51(1)等差数列{}na中,1030a,2050a,则通项na;(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______;4、设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=________.5、已知数列{an}为等差数列,若a11a10-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使Sn0的n的最大值为()A.11B.19C.20D.21(1)数列{}na中,*11(2,)2nnaannN,32na,前n项和152nS,则1a=_,n=;(2)已知数列{}na的前n项和212nSnn,求数列{||}na的前n项和nT.45、等差中项:若,,aAb成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且2abA。提醒:(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:1a、d、n、na及nS,其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2adadaadad…(公差为d);偶数个数成等差,可设为…,3,,,3adadadad,…(公差为2d)6.等差数列的性质:(1)当公差0d时,等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差0d,则为递增等差数列,若公差0d,则为递减等差数列,若公差0d,则为常数列。(3)当mnpq时,则有qpnmaaaa,特别地,当2mnp时,则有2mnpaaa.(4)若{}na、{}nb是等差数列,则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN、232,,nnnnnSSSSS,…也成等差数列,而{}naa成等比数列;若{}na是等比数列,且0na,则{lg}na是等差数列.等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。(5)在等差数列{}na中,当项数为偶数2n时,SSnd偶奇-;项数为奇数21n时,SSa奇偶中,21(21)nSna中(这里a中即na);:(1):奇偶SSkk。项数为奇数的等差数列{}na中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数.(6)若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB,且()nnAfnB,则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.设{na}与{nb}是两个等差数列,它们的前n项和分别为nS和nT,若3413nnTSnn,那么nnba___________;5(7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?等差数列{}na中,125a,917SS,问此数列前多少项和最大?并求此最大值;6、(1)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误..的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.260各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。类型1)(1nfaann例1.已知数列na满足211a,nnaann211,求na。解法:把原递推公式转化为)(1nfaann,利用累加法(逐差相加法)求解。6类型2nnanfa)(1例1:已知数列na满足321a,nnanna11,求na。解法:把原递推公式转化为)(1nfaann,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知31a,nnanna23131)1(n,求na。类型3qpaann1(其中p,q均为常数,)0)1((ppq)。例:已知数列na中,11a,321nnaa,求na.解法(待定系数法):把原递推公式转化为:)(1taptann,其中pqt1,再利用换元法转化为等比数列求解。在数列na中,若111,23(1)nnaaan,则该数列的通项na_______________7类型4nnnqpaa1(其中p,q均为常数,)0)1)(1((qppq)。(或1nnnaparq,其中p,q,r均为常数)。例:已知数列na中,651a,11)21(31nnnaa,求na。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以1nq,得:qqaqpqannnn111引入辅助数列nb(其中nnnqab),得:qbqpbnn11再待定系数法解决。类型5递推公式为nnnqapaa12(其中p,q均为常数)。(待定系数法):先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s,t满足qstpts解法一(待定系数——迭加法):数列na:),0(025312Nnnaaannn,baaa21,,求数列na的通项公式。例:已知数列na中,11a,22a,nnnaaa313212,求na。81.已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN(I)证明:数列1nnaa是等比数列;(II)求数列na的通项公式;(III)若数列nb满足12111*44...4(1)(),nnbbbbnanN证明nb是等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆类型6递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSfa)例:已知数列na前n项和2214nnnaS.(1)求1na与na的关系;(2)求通项公式na.解法:这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。类型7banpaann1)001(,a、p例:设数列na:)2(,123,411nnaaann,求na.9解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令)()1(1yxnapynxann,与已知递推式比较,解出yx,,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。类型8rnnpaa1)0,0(nap例:已知数列{na}中,2111,1nnaaaa)0(a,求数列.的通项公式na解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann1,再利用待定系数法求解。类型9)()()(1nhanganfannn例:已知数列{an}满足:1,13111aaaannn,求数列{an}的通项公式。解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann1。类型10hraqpaannn110例:已知数列}{na满足性质:对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.例:已知数列}{na满足:对于,Nn都有.325131nnnaaa(1)若,51a求;na(2)若,31a求;na(3)若,61a求;na(4)当1a取哪些值时,无穷数列}{na不存在?解法:如果数列}{na满足下列条件:已知1a的值且对于Nn,都有hraqpaannn1(其中p、q、r、h均为常数,且rharqrph1,0,),那么,可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0x时,则01nax是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x、2x时,则12nnaxax是等比数列。类型11qpnaann1或nnnpqaa1例:(I)在数列}{na中,nnanaa6,111,求na(II)在数列}{na中,nnnaaa3,111,求na解法:这种类型
本文标题:等差数列与通项公式
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