数列极限的求法

内容提要数列极限可用N语言和AN语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的各种性质及其不同求法，例如：唯一性、保号性、有界性、可加可乘性、保序性、迫敛性、极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.最后还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词N定义；夹逼准则；Stoltz公式；数列极限：数列极限的性质；求数列极限的各种方法；数列极限的实际应用目录第一章数列极限的概念………………………………………………11.1数列极限的概念……………………………………………………11.2常用定理公式………………………………………………………2第二章收敛数列的性质………………………………………………42.1唯一性………………………………………………………………42.2有界性………………………………………………………………42.3保号性………………………………………………………………42.4保序性………………………………………………………………52.5迫敛性………………………………………………………………52.6可加、可乘性………………………………………………………6第三章数列极限的求法………………………………………………73.1极限定义求法………………………………………………………73.2极限运算法则求法…………………………………………………83.3夹逼准则求法………………………………………………………103.4单调有界求法………………………………………………………113.5函数极限法…………………………………………………………123.6定积分定义求法……………………………………………………133.7Stoltz公式法………………………………………………………143.8集合算术平均收敛公式法…………………………………………153.9级数法………………………………………………………………163.10其他方法…………………………………………………………18第四章数列极限在现实生活中的应用………………………………204.1几何计算—计算面积……………………………………………204.2求方程的数值解………………………………………………..214.3市场经营中的稳定性问题………………………………………224.3.1零增长模型……………………………………………………224.3.2不变增长模型…………………………………………………234.4购房按揭贷款分期偿还…………………………………………24第五章结论…………………………………………………………26参考文献………………………………………………………………27第一章数列极限的概念在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1数列极限的定义及分类数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积nA在n无限增大（n）时，内接正多边形无限接近于圆，同时nA也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：N定义，AN定义.定义1（N语言）：设na是个数列，若存在常数a，对于任意给定的正数，都存在一个正整数N，使得当nN时，都有naa，则称a是数列na的极限，或称na收敛于a，记作limnnaa，或naan.这时，也称na的极限存在.定义2（AN语言）：若0A,存在正整数N，使得当nN时，都有naA,则称是数列na当n无限增大时的非正常极限，或称na发散于，记作limnna或nan，这时，称na有非正常极限.对于,的定义类似，就详作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.定理1.2.1（数列极限的四则运算法则）若na和nb为收敛数列，则,,nnnnnnababab也都是收敛数列，且有limlimlim,limlimlim.nnnnnnnnnnnnnnabababab若再假设0nb及lim0nnb，则nnab也是收敛数列，且有limlim/limnnnnnnnaabb.定理1.2.2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理1.2.3（Stoltz公式）设有数列nx，ny，其中nx严格增，且limnnx（注意：不必limnny）.如果11limnnnnnyyaxx（实数，,），则11limlim.nnnnnnnnyyyaxxx定理1.2.3'（00Stoltz公式）设nx严格减，且lim0nnx，lim0nny.若11limnnnnnyyaxx（实数，,），则11limlimnnnnnnnnyyyaxxx.定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）设limnnaa，则（1）12...limnnaaaan，（2）若01,2,...nan，则12lim...nnnaaaa.定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列,nnab都以a为极限，数列nc满足：存在正数0N，当0nN时，有nnnacb，则数列nc收敛，且limnnca.定理1.2.6（归结原则）设f在0;Ux内有定义.0limxxfx存在的充要条件是：对任何含于0;Ux且以0x为极限的数列nx，极限limnnfx都存在且相等.第二章收敛数列的性质定理1.2.1（唯一性）收敛数列的极限值是唯一的。（若数列na收敛，则它只有一个极限。）证设设limn=a，又设limn=b由定义，对于＞0，N1，N2使得当n＞N1恒有︱an-a︱＜12；当n＞N2恒有︱an-b︱＜12；取N=max{N1，N2}，则当n＞N时有∣xn-a∣＜12∣xn-b∣＜12即∣a-b∣≦︱an-a︱+︱an-b︱＜由的任意性，a=b，故极限唯一定理1.2.2（有界性）收敛的数列必有界。证设limn=a，由定义，取=1，则N，使得当n＞N时恒有︱an-a︱＜1，即有a-1＜an＜a+1.记M=max{︱a1︱，…︱an︱，︱a-1︱，︱a+1︱}，则对一切自然数n皆有︱an︱≤M，故{an}有界。推论：无界数列必定发散注意：有界数列是数列收敛的必要条件定理1.2.3（保号性）设na是以a为极限的收敛数列，我们有（1）若a＞0，则对任意的á；a＞á＞0，存在N，使得当n＞N时，有an＞á。（2）若a＜0，则对任意的á；a＜á＜0，存在N，使得当n＞N时，有an＜á。证（1）取=a-á＞0，根据极限的定义，知存在N，使得当n＞N时，有a-＜an＜a+，an＞a-（a-á）=á，n＞N（2）证明类似，略定理1.2.4（保序性）设数列{an}与{bn}收敛，若存在整数N0,使得当n＞N0时有an≦bn，则limnan≦limnbn证设limnan=a，limnbn=b；若a＞b，则对=12（a-b）＞0，正整数N1，N2使得当n＞N1恒有︱an-a︱＜；即有an＞a-=12（a+b）；当n＞N2恒有︱an-b︱＜即有bn＞b+=12（a+b）；取N=max{N0,N1,N2},当n＞N时an＞12（a+b）＞bn与条件相矛盾定理1.2.5（迫敛性）设三个数列{an}，{bn}与{cn}满足（1）an≦cn≦bn（n=1,2,3…）（2）limnan=limnbn=a,则{cn}必为收敛列，且其极限也为a。证任给＞0，由题设（2）可知，存在（共同的）N，使得当n＞N时，有︱an-a︱＜︱bn-a︱＜由此知，当n＞N时，a-＜ana+＞bn由（1）得a-＜cn＜a+n＞N。这说明{cn}是收敛列，且极限为a注意：（1）若条件（1）换作an＜cn＜bn(n=1,2,3……)则结论任成立（2）本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。定理1.2.6（可加性、可乘性、可除性）设数列{an}{bn}是收敛数列且limnan=Alimnbn=B则（1）limn（an±bn）=A±B（2）limnan·bn=A·B（3）limnan/bn=A/B期中B≠0注意：bn为常数C时有limn（an±C）=A±Climnan·C=cA第三章数列极限的求法3.1极限定义求法在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N.我们前面第一节TH2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.例3.1.1limnna，其中0a.解：lim1nna.事实上，当1a时，结论显然成立.现设1a.记11na，则0.由11111nnanna,得111naan.（5）任给0，由（5）式可见，当1anN时，就有11na.即11na.所以lim1nna.对于01a的情况，因11a，由上述结论知1lim1nna，故11limlim111/nnnnaa.综合得0a时，lim1nna.例3.1.2定理1.2.4（1）式证明.证明：由limnnaa，则0，存在10N，使当1nN时，有/2naa,则111211...1......nNNnaaaaaaaaaaaann.令11...Ncaaaa，那么121...2naaanNcannn.由lim0ncn，知存在20N，使当2nN时，有2cn.再令12max,NNN,故当nN时，由上述不等式知121...2222naaanNann.所以12...limnnaaaan.例3.1.3求7lim!nnn.解：7lim0!nnn.事实上，7777777777771......!127817!6!nnnnnn.即77710!6!nnn.对0，存在7716!N，则当nN时，便有77710!6!nnn，所以7lim0!nnn.注：上述例题中的7可用c替换，即lim00!nnccn.3.2极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.例3.2.1求11101110...lim...mmmmkknkkanananabnbnbnb,其中00mkmkab，，.解：分子分母同乘kn，所求极限式化为1111011110...lim...mkmkkkmmkknkkananananbbnbnbn.由lim00nn，知，当mk时，所求极限等于mmab；当mk时，由于00mknn，故此时所求极限等于0.综上所述，得到11101110,.