函数的基本性质(复习)

函数的基本性质(复习)•对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)这个区间上是增函数.【定义】区间D称为f(x)的一个递增区间。•对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)这个区间上是减函数.区间D称为f(x)的一个递减区间。单调性的概念2.证明函数单调性的基本步骤.(1)取值．即设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形．即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；(3)定号．确定差f(x1)－f(x2)的符号．(4)下结论，根据符号作出结论．即“取值——作差变形——定号——下结论”这四个步骤．3.函数奇偶性的定义.①奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则这函数叫做奇函数．②偶函数：设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则个函数叫做偶函数．注意:1.奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形.偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.4.根据定义判断函数奇偶性的步骤.1.求解函数的定义域，并判断是否关于原点对称2.求f（-x）.3.判断f（-x）与f（x）,-f（x）之间的关系.若不具有奇偶性举反例.4.给出结论.二.小题小练：1.设偶函数f(x)为(0,+∞)上的减函数，则f(－2),f(－π),f(3)的大小顺序是．记忆技巧：偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同.分析：二次函数的单调性问题需考虑对称轴和开口方向2.已知二次函数为偶函数，则f(x)在(－5，－2)上是单调函数．3212mxxmxf_______00)3(0)(4的解集是，则内是增函数，是奇函数且在、设xfxfxf解析：f(x)＝|x－a|的图象是以(a,0)为折点的折线，由图知a≥2.3.函数f(x)＝|x－a|在(－∞，2]上单调递减，则a的取值范围是．0xy3-36.已知函数，常数a、b∈R，且f（4）=0，则f（-4）=．13bxaxxf分析：本题一个条件，a、b二个待定系数.无法求出解析式只有利用函数的性质来处理.5、已知f(x)是R上的奇函数，且f(-5)=5，则f(5)=________思维启迪：本题着重在于考查函数的奇偶性的性质与定义。7已知为奇函数，求a,b1112xbxxaxxf题型分析题型一：定义证明单调性：例1、证明函数上是增函数在3,2322xxxf证：21213,2,xxxx且设取值2221212122xxxxxfxf作差222121212121xxxxxxxxxx变形002,03221212121xfxfxxxxxx定号上的增函数是3,2322xxxf下结论例2.已知函数是偶函数，且在区间上是减函数，证明：函数在区间上是增函数。)(xf],(ba)(xf),[ab证明：在内任取，且则ab,21,xxaxxb21axxb21)()(,)(21xfxfbaxf内单调递减在又上是增函数在即函数是偶函数又abxfxfxfxfxfxf,)()()()()-()(21定义证明单调性：练习.设，是上的偶函数。（1）求实数的值；（2）证明在是增函数。0axxeaaexf)(Ra)(xf),0(解：（1）是R上的偶函数)(xf)()(xfxfxxxxeaaeeaaexxxxaeeaaeea22221xxeaea22221恒成立12a10aa练习设，是上的偶函数。（1）求实数的值；（2）证明在是增函数。0axxeaaexf)(Ra)(xf),0(定义证明单调性：),0(（2）证明：在内任取，且则21,xx21xx212111)()(21xxxxeeeexfxf211221xxxxxxeeeee)11)((2121xxxxeee)1)((212121xxxxxxeeee100212121xxxxeeexx)()(0)()(2121xfxfxfxf）上单调递增，在（0)(xf例3.已知函数的定义域为，且满足下列条件：①是奇函数②在定义域上单调递减③求实数a的取值范围。)(xf)1,1()(xf)(xf0)1()1(2afaf1111111122aaaa不能忽视定义域！题型二：利用函数的奇偶性求参数的取值范围：本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，解决本题的关键是利用f(x)为奇函数将式子转化为:思维引导：211afaf由题意可得：本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，解决本题的关键是利用f(x)为奇函数将式子转化为:121afaf思维引导：巩固练习：思维引导：的范围求）若（的值；求时，当，且，的定义域为已知函数xxfxfffyfxfyxyfxfxyffxf,2324,1)1(,1202_______________3fxfxf变式训练1：变式训练2：的解集式求不等上是增函数，若，是偶函数，且在区间函数021,0100xffxxfy思维引导：0______f1或-1解抽象不等式的基本思路：利用函数的单调性，去掉函数符号，将抽象不等式转化为具体不等式。其步骤为：1°为了利用单调性去函数符号，首先将不等式化为（或）的形式；2°依据函数的定义域及函数的单调性写出等价的具体不等式组；3°写出解集。ffff〖规律总结〗1已知函数x∈[1,+∞).(1)当a=时,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.思维启迪第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞)上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的问题来解决.还可以使用分离参数法,2)(2xaxxxf21题型一函数单调性与最值求函数的最小值函数,1,1,122.2xaxxxf思维启迪：求二次函数的最值需要有三看：开口方向，对称轴，区间当三者有一个不确定时，需讨论的取值范围求且若上为增函数，，且在，的定义域为已知函数aafaffyfxfxyfxf,21,13,,00)(3.题型二抽象函数的单调性与奇偶性将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数2看成某个变量的函数值.思维启迪：函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，并且当x0时，f(x)0.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=1,解不等式思维启迪问题(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.3232mmf变式训练：巩固练习：的解集求不等式增函数，若）上是，是偶函数，在区间（）函数（021,010)0(1xffxxfy的取值范围的求满足上单调增加，，在区间）已知偶函数（xfxfxf31120)(2四.课后练习：1.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=0.5，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（-5）等于．2.判断函数f（x）=x(|x|+2)的奇偶性.并利用其对称性画出它的图像.3.已知奇函数f(x)在区间[a，b](0＜a＜b)上的最大值是3，则函数f(x)在区间[－b，－a]上最值，该值是．4.已知（1）若a=-2,试证f(x)在（-∞,-2）内单调递增；（2）若a0且f(x)在（1,+∞）内单调递减，求a的取值范围.).()(axaxxxf0a≤11奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，①若有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；②若有f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数。2图象性质:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.3判断奇偶性方法：图象法，定义法。4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提6、解决利用函数的性质求参数的取值范围的问题时，就要列出关于参数的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性将“抽象的不等式”转化为“具体的代数不等式”是关键。但要注意以下几点：（1）奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数的单调性相反；（2）不要漏掉函数自身定义域对参数的影响。5、函数的定义域内有0，若函数是奇函数，则f(0)=0