高中数学函数的单调性15分钟片段教学课件

§1.3.1函数的单调性学习目标：1、通过观察一些函数图像的升降，形成增（减）函数的直观认识；2、通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律，得出增（减）函数的定义；3、掌握用定义证明函数单调性的基本方法和步骤。问题1：观察下列函数图像，说说他们反映了相应函数的哪些变化规律？例1.如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.531-2-5xOy解：函数f(x)的单调区间有[-5,-2)，[-2,1)，[1,3)，[3,5],其中f(x)在区间[-5,-2)，[1,3)上是减函数，在区间[-2,1)，[3,5]上是增函数.问题:2：如何利用函数解析式f(x)=描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”“随着x的增大，相应的f(x)随着增大”？2x1x2x)(1xf)(2xf)(xf图3yx1x2x)(1xf)(2xf)(xf图4yx1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x,x，当xx时，都有f(x)f(x)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）．122112小组合作探究一1、为什么是任意两个自变量的值?换成无数多个行不行？即f(x)在区间（a,b）上有无数多个自变量的取值满足,则f(x)在（a,b)上单调递增？请举例或画图说明。2、如果对于(a,b)上的任意x总有f(x)f(a),则f(x)在（a,b)上单调递增,对吗？为什么？（举例或画图像说明）21xx和21xx、bxxa211.增函数与减函数定义：对于函数y=f(x)的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，⑴若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说在这个区间上是增函数；⑵若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说在这个区间上是减函数.abOxyy=f(x)x2x1f(x1)f(x2)y=f(x)x2x1f(x1)f(x2)Oxyab⒉单调性与单调区间在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数y=f(x)是这一区间上的单调函数.例2.物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkpVpVkVVVV由V1，V2∈(0，+∞)且V1V2，得V1V20,V2-V10又k0,于是0)()(21VpVp21()()pVpV所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差结论例3证明函数在R上是增函数.23)(xxf证明：设是R上的任意两个实数,且则:21,xx21xx12()()fxfx)(321xx21xx021xx0)()(21xfxf)()(21xfxf23)(xxf在R上是增函数.12(32)(32)xx强化训练（3分钟）求证:函数f(x)=－x3+1在(－∞,+∞)上是减函数.证明:设x1,x2∈R且x1x2]43)21)[((2222121xxxxx043)21(22221xxx而∵x1x2∴x1－x20则f(x2)－f(x1)=(－x23+1)－(－x13+1)=x13－x23=(x1－x2)(x12+x1x2+x22)∴f(x1)f(x2)∴f(x)=－x3+1在(－∞,+∞)上是减函数.课堂小结：⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设是给定区间内的任意两个值，且21,xx21xx)()(21xfxf⑵作差并将此差式变形(要注意变形的程度)⑶判断的正负（要注意说理的充分性）)()(21xfxf⑷根据的符号确定其增减性.)()(21xfxf书面作业课堂练习教材P.32练习1题、2题、3题、4题。教材P.39习题1.3A组2题、3题