北师版初一升初二暑假衔接教材

1第一讲、三角形总复习基础知识1.三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2.三角形中三边之间的关系定理及其推论；3.全等三角形的性质与判定；4.特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5.直角三角形的性质与判定。三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。例题精讲一、三角形内角和定理的应用【例1】如图1，已知ABC中，BACADBC90，于D，E是AD上一点。求证：BEDC二、三角形三边关系的应用【例2】已知：如图，在ABC中，ABAC，AM是BC边的中线。求证：AMABAC12。2三、角平分线定理的应用【例3】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分DAB。四、全等三角形的应用1、构造全等三角形解决问题【例4】已知如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：AMN的周长等于2。2、“全等三角形”在综合题中的应用【例5】如图，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。3五、中考点拨【例6】如图，在ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为【】A.9B.8C.7D.6六、题型展示【例7】已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，AEBD12。求证：BD平分∠ABC【例8】某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？4课堂练习1、填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。2、在锐角ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。3、如图所示，D是ABC的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与∠B的大小关系。4、如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是AC中点，AE⊥BM。求证：∠AMB＝∠CMD5、设三个正数a、b、c满足abcabc22224442，求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长。6、如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形DCBA（此时，点B落在对角线AC上，点A落在CD的延长线上），BA交AD于点E，连接AA、CE．求证：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直线CE是线段AA的垂直平分线．5第二讲、如何做几何证明题基础知识1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。例题精讲一、证明线段相等或角相等【例1】已知：如图所示，ABC中，90C，AC=BC，AD=BD，AE=CF。求证：DE＝DF。6【例2】已知：如图所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F。二、证明直线平行或垂直【例3】如图所示，设BP、CQ是ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC。【例4】已知：如图所示，AB＝AC，∠，，AAEBFBDDC90。求证：FD⊥ED。7三、证明一线段和的问题1、在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。【例5】已知：如图所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。求证：AC＝AE＋CD。2、延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。【例6】已知：如图所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。求证：EF＝BE＋DF8四、中考题：【例7】如图所示，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。求证：EC＝ED。五、证明几何不等式：【例8】已知：如图9所示，12，ABAC。求证：BDDC课堂练习1、已知：如图所示，ABC中，C90，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有ACADCE。求证：DECD12。92、已知：如图所示，在ABC中，AB2，CD是∠C的平分线。求证：BC＝AC＋AD。3、已知：如图所示，过ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP＝MQ4、ABC中，BACADBC90，于D，求证：ADABACBC1410第三讲平方根基础知识1、平方根概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即ax2，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根是0；③负数没有平方根。2、算术平方根概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00。3、开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数，a必须为非负数，即a有意义的条件是a≥0。4、开平方与平方的关系：互为逆运算。5、a（a≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。6、形如002aaaaaa7、（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：①特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；②开方开不尽的数，如:39,5,2等；③特殊结构的数：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。注意：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：（2）有理数与无理数的区别：①有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；②所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。（3）无理数+有理数=无理数；无理数+无理数=无理数（有理数）；有理数+有理数=有理数；11有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定是无理数。例题精讲【例1】求下列各数的算术平方根、平方根。①259；②64；④0.09；⑤49151；⑥0。【例2】求下列各数的算术平方根、平方根：①3625；③0.0036；④2563；⑤81；【例3】填空：（1）23=；（2）231=；（5）210=；（6）2101=；（9）对于任意数x，2x=；【例4】求适合下列各式中未知数的值：（1）0064252xx（2）4912x（3）3252100x（4）13x【例5】已知355xxy；求x+y的值。【变式练习】x为何值时，xx1有意义。【例6】已知02132zyx，求xyz的值。12【例7】已知12a的平方根是3，13ba的平方根是4，求ba2的平方根。【例8】小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m，他要用50块正方形的花岗岩。请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【例9】下列各数：①3.141、②0.33333……、③75、④π、⑤252.、⑥32、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2），其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）【变式练习】有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,4,32其中无理数有【】个A2B3C4D5课堂练习1、下列各式中，正确的是【】A．525B．332C．636D．12a一定有平方根2、平方根是±31的数是【】A．±91B．91C．31D．313、在实数中Л,－25,0,3,－3．14,4无理数有【】A1个B2个C3个D4个4、下列说法正确是【】A有理数都是实数B实数都是有理数C带根号的数都是无理数D无理数都是开方开不尽的数5、对于14x，当x时，它有意义？6、x为时，22xx有意义。7、当一个数a的值为时（填入一个合适的数），它有两个平方根，平方根是。8、一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是。139、求下列各式的值：（1）251600；（2）251169254100；10、解下列方程:（1）025642x（2）3243x（3）16942x11、若02510yxx，求xyyx的值。12、若041xyx，求yx的值。13、（提高题）观察下列等式：回答问题：①2111111112111122②6111212113121122③12111313114131122，……（1）根据上面三个等式的信息，请猜想2251411的结果；（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。14、若3，ｍ，5为三角形三边，化简：2282mm14第四讲立方根基础知识1、立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即ax3，那么这个数x就叫做a的立方根。2、性质：正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。3、立方根的表示方法：每个数a都只有一个立方根（立方根的唯一性），记为“3a”，读作“三次根号a”。4、开立方与立方的关系：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。开立方与立方互为逆运算。5、开立方和小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位。6、n次方根的定义：如果一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。7、n次方根的性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根；（2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负。例题精讲【例1】下列各数有立方根吗？若有，请你把它求出来；（1）-27（2）64125（3）0（4）64（5）-1（6）-125（7）34（8）35【例2】求下列各式的值：（1）