沪教版(上海)八年级上册-19.4-线段的垂直平分线和角平分线-讲义(无答案)

沪教版（上海）八年级上册19.4线段的垂直平分线和角平分线讲义（无答案）1/8线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习：1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵CD⊥AB，且AD＝BD∴AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，∵AC＝BC∴点C在线段AB的垂直平分线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，也成立。4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴CF＝DF.m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA图4CDOABFE沪教版（上海）八年级上册19.4线段的垂直平分线和角平分线讲义（无答案）2/8定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD，∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.精品习题：1．在△ABC中，∠C=90º，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.2．如图，在△ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则:ABCACDSS=（）A．3:4B．4:3C．16:19D．不能确定图5CDOABP图6EFDIPRQBCA沪教版（上海）八年级上册19.4线段的垂直平分线和角平分线讲义（无答案）3/83．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则SABO：SBCO：SCAO等于______.4．如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为．5．AD∥BC，∠D=90，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（）A．PDPCB．PDPCC．PD=PCD．无法判断6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在()A．在AC、BC两边高线的交点处B.在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处D.在∠A、∠B的角平分线的交点处7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于()A．25ºB.30ºC.45ºD.60º沪教版（上海）八年级上册19.4线段的垂直平分线和角平分线讲义（无答案）4/88．AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。A、1B、2C、3D、411．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．沪教版（上海）八年级上册19.4线段的垂直平分线和角平分线讲义（无答案）5/812．如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你判断线段AC与BH有什么关系？并说明理由.13．如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．14．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．沪教版（上海）八年级上册19.4线段的垂直平分线和角平分线讲义（无答案）6/8（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．15．已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变？说明理由．16．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你沪教版（上海）八年级上册19.4线段的垂直平分线和角平分线讲义（无答案）7/8同意小德的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．17．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和∠ADE，求证：AD=AB+CD。18．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。DAECBABECD沪教版（上海）八年级上册19.4线段的垂直平分线和角平分线讲义（无答案）8/819．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+ADABCD