2012年全国各地中考数学压轴题专集答案反比例函数

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案三、反比例函数1．（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC＝x，四边形OCPD的面积为S．（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x＝34时，S有最大值98，求a、b的值；（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．1．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b由A（4，0），B（0，6），得4k＋b＝0b＝6解得k＝－32b＝6∴直线AB的解析式为y＝－32x＋6∵OC＝x，∴P（x，－32x＋6）∴S＝x(－32x＋6)即S＝－32x2＋6x（0＜x＜4）（2）设直线AB的解析式为y＝mx＋n∵OC＝x，∴P（x，mx＋n）∴S＝mx2＋nx∵当x＝34时，S有最大值98∴－n2m＝34916m＋34n＝98解得m＝－2n＝3∴直线AB的解析式为为y＝－2x＋3∴A（32，0），B（0，3）PBOCAxyD即a＝32，b＝3（3）设点M的坐标为（xM，yM），∵点M在（2）中的直线AB上，∴yM＝－2xM＋3∵点M到x轴、y轴的距离相等，∴xM＝yM或xM＝－yM当xM＝yM时，易得M点的坐标为（1，1）∴过M点的反比例函数的解析式为y＝1x∵点N在y＝1x的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形∴点N的坐标为（32，23）当xM＝－yM时，M点的坐标为（3，－3）过M点的反比例函数的解析式为y＝－9x∵点N在y＝－9x的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形∴点N的坐标为（32，－6）综上，点N的坐标为（32，23）或（32，－6）2．（北京模拟）已知点A是双曲线y＝k1x（k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y＝k2x（k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）；（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝k1x（k1＞0）上，求m的值；（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．图1EBOCAxyD图2EBOCAxyD图3EBOCAxyDF解：（1）由题意得A，C两点的坐标分别为A（1，k1），C（1，k2）∵k1＞0，k2＜0，∴点A在第一象限，点C在第四象限，AC＝k1－k2当m＝4时，S△ACD＝12AC·BD＝32(k1－k2)（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥AB∵E是AD的中点，∴G是BD的中点∵A（1，k1），B（1，0），D（m，0）∴EG＝12AB＝k12，BG＝12BD＝m－12，OG＝OB＋BG＝m＋12∴点E的坐标为E（m＋12，k12）∵点E恰好在双曲线y＝k1x（k1＞0）上∴m＋12·k12＝k1①∵k1＞0，∴方程①可化为m＋14＝1，解得m＝3（3）当m＝2时，点D的坐标为D（2，0），由（2）可知点E的坐标为E（32，k12）∵S△BDF＝1，∴12BD·OF＝1，∴OF＝2设直线BE的解析式为y＝ax＋b（a≠0）∵B（1，0），E（32，k12）∴a＋b＝032a＋b＝k12解得k＝k1b＝－k1∴直线BE的解析式为y＝k1x－k1∵线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k1＞0∴点F的坐标为F（0，－k1），∴OF＝k1∴k1＝2线段CF的长为53．（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝12，反比例函数y＝kx（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．（1）求反比例函数和直线AB的解析式；（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．EBOCAxyDGBOCAxyDEFEBOCAxyDF解：（1）∵点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝kx（k≠0）的图象上∴4m＝k2n＝k得n＝2m过点E作EH⊥BC于H，连接DE在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BAC＝12，EH＝2，∴BH＝1∴D（4，m），E（2，2m），B（4，2m＋1）∵S△BDE＝12BD·EH＝12(m＋1)×2＝2，m＝1∴D（4，1），E（2，2），B（4，3）∵点D（4，1）在反比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，∴k＝4∴反比例函数的解析式为y＝4x设直线AB的解析式为y＝k′x＋b，把B（4，3），E（2，2）代入得3＝4k′＋b2＝2k′＋b解得k′＝12b＝1∴直线AB的解析式为y＝12x＋1（2）∵直线y＝12x＋1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），∴FD∥x轴，∠EFP＝∠EAO因此以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似有两种情况：①若EFFP＝EAAO，则△FEP∽△AEO∵E（2，2），F（0，1），∴EF＝5∵直线y＝12x＋1与x轴交于点A，∴A（0，－2）∴5FP＝252，∴FP＝1∴P（1，1）②若FPEF＝AEOA，则△FPE∽△AEO∴FP5＝252，∴FP＝5∴P（5，1）4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA:AB:OC＝5:5:3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD．（1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值；（2）在（1）的条件下，反比例函数y＝mx的图象经过点B．BOCAxyDEHFBOCAxyDEFPBOCAxyDEFP①求证：反比例函数y＝mx的图象与直线AB必有两个不同的交点；②设反比例函数y＝mx的图象与直线AB的另一个交点为E，已知点P（p，－n－1），Q（q，－n－2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围．解：（1）∵A（5n，0），OA:OC＝5:3，点C在y轴的正半轴上∴C（0，－3n）∵BC∥OA，∴点B的纵坐标为－3n过点B作BG⊥OA于G，则BG＝－3n设OG＝x，在Rt△ABG中，(－5n－x)2＋(－3n)2＝(－5n)2解得x＝－n或x＝－9n（舍去）∴B（n，－3n）设OD＝t，∵点D是线段OC上一点，且OD＝BD∴t2＝(－3n－t)2＋(－n)2，∴t＝－53n∴D（0，－53n）把B、D的坐标代入y＝kx＋m，得nk＋b＝－3nb＝－53n解得k＝－43（2）①∵比例函数y＝mx的图象经过点B，∴m＝n(－3n)＝－3n2∴y＝－3n2x由A（5n，0），B（n，－3n）可得直线AB的解析式为y＝34x－154n由y＝－3n2x和y＝34x－154n消去y并整理得：3x2－15nx＋12n2＝0∵△＝(－15n)2－4×3×12n2＝9n2＞0∴反比例函数y＝－3n2x的图象与直线AB必有两个不同的交点联立y＝－3n2xy＝34x－154n解得x1＝ny1＝－3nx2＝4ny2＝－34nxyOCABEFxyOCABEFGD∴E（4n，－34n）当点E过点P时，有－n－1＝－34n，∴n＝－4当点E过点Q时，有－n－2＝－34n，∴n＝－8∴当点E落在线段PQ上时，n的取值范围是：－8≤n≤－45．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．解：（1）当k＝－2时，A（1，－2）设反比例函数为y＝k′x，则k′＝1×(－2)＝－2∴反比例函数的解析式为y＝－2x（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大则反比例函数只能在二、四象限，k′＝k＜0此时二次函数开口向下，故x≤－b2a＝－12才满足要求综上所述，k＜0且x≤－12（3）∵y＝k(x2＋x－1)＝k(x＋12)2－54k，∴Q（－12，－54k）∵A（1，k），B（－1，－k），∴A、B两点关于原点O对称，即O是AB的中点又∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，∴OQ＝OA∴(－12)2＋(－54k)2＝12＋k2，解得k＝±2336．（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝kx在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝12．（1）求反比例函数的解析式；（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长．解：（1）在Rt△BOA中，∵OA＝4，tan∠BOA＝12∴AB＝OA·tan∠BOA＝2，∴B（4，2）∵点D为对角线OB的中点，∴D（2，1）GBFCxOyAHDE∵点D在反比例函数y＝kx的图象上，∴1＝k2，∴k＝2∴反比例函数的解析式为y＝2x（2）设点F（a，2），则2a＝2，∴CF＝a＝1连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2－t在Rt△CGF中，FG2＝CF2＋CG2∴t2＝12＋(2－t)2，解得t＝54∴OG＝t＝547．（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－23x的图象上．（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则b＝__________（用含m的代数式表示）；（3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．解：（1）过M1作M1H⊥PQ1于H，设Q1（x，0），显然点Q1在x轴的负半轴上，点M1在第二象限∵P（1，0），∴M1Q1＝PQ1＝1－x∵∠PQM1＝60°，∴Q1H＝12(1－x)，M1H＝32(1－x)∴OH＝－x－12(1－x)＝－12(1＋x)∴M1（12(1＋x)，32(1－x)）GBFCxOyAHDExyPOQMNQ1M1N1HxyPOQMNxyO备用图∵点M1在反比例函数y＝－23x的图象上∴12(1＋x)·32(1－x)＝－23，解得：x＝3（舍去）或x＝－3∴M1（－1，23）（2）k＝－3，b＝3m提示：连接PM1、PM，则∠M1PQ1＝∠OPN＝∠MPN＝60°∴∠M1PM＝180°，即M1、P、M三点共线且∠M1MN＝60°可得直线MM1的解析式为y＝－3x＋b，∴k＝－3若点P的坐标为（m，0），则直线MM1的解析式为y＝－3x＋3m∴b＝3m（3）①若符合条件的菱形有三个，则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点由∠QPM＝60°或∠PNM＝60°，P（m，0），得直线PM或直线PN的解析式为y＝3x－3m令y＝3x－3m＝－23x，得x2－mx＋2＝0△＝m2－8＝0，得m＝±22∴当－22＜m＜22时，△＜0