2012年全国各地中考数学压轴题专集答案圆

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案八、圆1．（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．（1）证明：∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AB且O2F＝AO1∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC∴∠BO1F＝∠CO2F∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90°∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E∴△DO1F≌△FO2E（2）解：延长CA至G，使AG＝AQ，连接BG、AE∵点E是半圆O2圆弧的中点，∴AE＝CE＝3∵AC为半圆O2的直径，∴∠AEC＝90°∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝32∵AQ是半圆O2的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90°∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝32同理：∠BAP=90°，AB=AP＝52∴CG＝62，∠GAB＝∠QAP∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB2－AC2＝42∴BG＝BC2＋GC2＝226，∴PQ＝226（3）设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CG⊥MF于G，过B作BH⊥MF于H，连接DH、AD、DM∵F是BC边的中点，∴S△ABF＝S△ACF，∴BH＝CG由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90°∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3同理：∠2＝∠4AO1CBO2EDF图1AO1CBO2EDFPQ图2图3AO1CBO2EDFPQAO1CBO2EDFAO1CBO2EDFPQG∴△AMQ≌△CGA，∴AM＝CG，∴AM＝BH同（2）可证AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90°∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90°∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上且∠DBH＋∠DAH＝180°∴∠5＝∠8，∠6＝∠7∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90°∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB又AB是半圆O1的直径，∴PA是半圆O1的切线2．（上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AB︵上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝12BC＝12在Rt△BOD中，OD＝OB2－BD2＝152（2）存在，长度保持不变的边为DE连接AB∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝OA2＋OB2＝22∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D是BC中点，E是AC中点∴DE＝12AB＝2（3）连接OC，过D作DF⊥OE于F∵OD＝2，BD＝x，∴OD＝4－x2∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥AC∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45°在Rt△DOF中，DF＝OF＝4－x22在Rt△DFE中，EF＝DE2－DF2＝2－4－x22＝22x∴y＝12OE·DF＝12(4－x22＋22x)·4－x22AECDOBAO1CBO2EDFPQMGH132684759AECDOBAECDOBF即y＝4－x2＋x4－x24（0＜x＜2）3．（上海模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y．（1）求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．解：（1）过B作BD⊥AC于D∵⊙P与边AC相切，∴BD是⊙P的半径∵cotA＝2，∴sinA＝55又∵sinA＝BDAB，AB＝15，∴BD＝35（2）过P作PH⊥MN于H则PH＝55x，PM＝BD＝35∴MH＝PM2－PH2＝45－15x2∴y＝2MH＝245－15x2即y＝251125－5x2（35≤x＜15）（3）当AP＝65时，∠CPN＝∠A理由如下：当AP＝65时，PH＝6，MH＝3，AH＝12，∴AM＝9∵AC＝20，MN＝6，∴CN＝5∵AMMP＝935＝355，PNCN＝355，∴AMMP＝PNCN又∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM∴∠AMP＝∠PNC，∴△AMP∽△PNC∴∠CPN＝∠A4．（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切．（1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，⊙M与CD相切？（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．BACNPMBACNPMDH解：（1）连接AM、MN，设⊙M与AB相切于点E，连接ME∵⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切∴在Rt△MNE中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30°∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°∵⊙M与∠BAD的两边相切∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90°∴在Rt△AMN中AM＝12AN＝12x∴ME＝AM·sin60°＝34x即y＝34x（x＞0）（2）设⊙M分别与AD、CD相切于点F、G，连接MA、MF、MG则MF＝FD＝MG＝y且AF＝MF·cot60°＝33y＝33·34x＝14x∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴14x＋34x＝4∴x＝8(3－1)（3）作NH⊥BC于点H若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等，则弦心距MG＝NH①当点N在线段AB上时∵AB＝10，∴BN＝10－x∴FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝32(10－x)∵AF＝14x，AF＋FD＝AD，∴14x＋32(10－x)＝4∴x＝104－12311②当点N在AB延长线上时则FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝32(x－10)14x＋32(x－10)＝4∴x＝104＋12311∴当x＝104－12311或x＝104＋12311时，直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等AMCBDNAMCBDNGFAMCBDNEAMCBDNHFGAMCBDNHFG5．（上海模拟）已知：半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C，射线PC交半圆O于点D，连接OD．（1）当AC︵＝CD︵时，求弦CD的长；（2）设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF＝1时，求tan∠P的值．解：（1）连接OC当AC︵＝CD︵时，∠POC＝∠DOC∵BC垂直平分OP，∴PC＝OC＝4∴∠P＝∠POC＝∠DOC∴△DOC∽△DPO，∴DODP＝CDDO即44＋CD＝CD4，解得CD＝25－2（2）作OE⊥CD于E，则CE＝DE＝12y①当点C在AD︵上时∵∠PBC＝∠PEO＝90°，∠P＝∠P∴△PBC∽△PEO，∴PBPE＝PCPO即x＋424＋y2＝4x＋4，∴y＝14x2＋2x－4显然，B不与A重合，∴x＜4当D与C重合时，PC是半圆O的切线∴PC⊥OC，∠PCO＝90°此时△PCO是等腰直角三角形∴OP＝2OC，即x＋4＝42，x＝42－4∵D不与C重合，∴x＞42－4∴42－4＜x＜4∴y＝14x2＋2x－4（42－4＜x＜4）BAOPCDAO备用图AO备用图BAOPCDE②当点C在AD︵外时同理，△PBC∽△PEO，∴PBPE＝PCPO即x＋424－y2＝4x＋4，∴y＝－14x2－2x＋4（0＜x＜42－4）（3）①当点C在AD︵上时，过D作DG∥OP交BF于G则△DEG∽△PEB，△DEF∽△OBF∴DEPE＝DGPB＝DGOB＝DFOF＝14＋1∴DEPE＝15，即y24＋y2＝15，解得y2＝1∴CE＝1，PE＝5，OE＝42－12＝15∴tan∠P＝OEPE＝155②当点C在AD︵外时，过D作DG∥OP交BE于G则△DEG∽△PEB，△DFG∽△BFO∴DEPE＝DGPB＝DGOB＝DFOF＝14－1∴DEPE＝13，即y24－y2＝13，解得y2＝1∴CE＝1，PE＝3，OE＝42－12＝15∴tan∠P＝OEPE＝1536．（上海模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝35，⊙B的半径长为1，⊙B交边BC于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图2，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．BAOPCDEFGBAOPCDEBAOPCDEFGABCP图1ABCN图2O解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝35∴AB＝10，BC＝AB2－AC2＝102－62＝8过点M作MD⊥AB于D在Rt△MDB中，∠MDB＝90°，∴sinB＝MDMB＝35∵MB＝2，∴MD＝35×2＝65＞1∴⊙M与直线AB相离（2）∵MD＝65＞1＝MP，∴OM＞MP若OP＝MP，易得∠MOB＝90°∴cosB＝OBBM＝BCAB＝810，∴OB＝85∴OA＝10－85＝425若OM＝OP，过O作OE⊥BC于E∴cosB＝EBOB＝BCAB＝810，∴OB＝158∴OA＝10－158＝658∴当△OMP是等腰三角形时，OA的长为425或658（3）连接ON，过N作NF⊥AB于F在Rt△NFB中，∠NFB＝90°，sinB＝35，NB＝y∴NF＝35y，BF＝45y，∴OF＝10－x－45y∵⊙N和⊙O外切，∴ON＝x＋y在Rt△NFB中，ON2＝OF2＋NF2∴(x＋y)2＝(10－x－45y)2＋(35y)2∴y＝250－50xx＋40（0＜x＜5）7．（上海模拟）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．（1）求BD的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当CE⊥OD时，求AO的长．解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODBABCPMOABCPMOEABCPMDABCNOFABDCEO∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴BDOC＝ODAC∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴BD6＝64，∴BD＝9（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴ABAO＝AOAC∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴y＋13x＝x4∴y＝14x2－13∵0＜y＜8，∴0＜14x2－13＜12，解得213＜x＜10∴定义域为213＜x＜10（3）∵OC＝OE，CE⊥