《二次函数的应用》专题练习

安徽滁州市第五中学胡大柱《二次函数的应用》专题练习1．某一型号的飞机着陆后滑行的路程s（单位：m）米与时间t（单位：s）之间的函数关系式为：s＝60t－1.5t2，试问飞机着陆后滑行多远才能停止？2．如图拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为231xy，当水面离桥顶的高度为325米时，水面的宽度为多少米？3．如图是抛物线形拱桥，拱顶离水面2m，水面宽度4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？4．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB＝18m。一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处。根据这些条件，请你求出该大门的高h。安徽滁州市第五中学胡大柱．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋54，请你寻求：（1）柱子OA的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。6．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？7．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米。以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求：（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？(1)0(2)xByAOxyABC安徽滁州市第五中学胡大柱．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？9．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米。现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系。(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？10．某服装商销售每件进价为40元的衬衫，市场调查显示，若每件以50元的价格销售，平均每天可销售500件，价格每提高1元，则平均每天少销售10件。当每件衬衫提价x元时，可以获得利润y元。（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当每件衬衫提价多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？PyBAOCx安徽滁州市第五中学胡大柱．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中运动路线是如图所示坐标系下的经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下该运动员在空中的最高处距水面3210m，入水距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水的姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。12．如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米。已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30°，AC⊥PC于点C，P、A两点相距38米。请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题。（1）求水平距离PC的长；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A点。安徽滁州市第五中学胡大柱．某水果商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元。市场调查显示，若每箱以50元的价格销售，平均每天可销售90箱，价格每提高1元，则平均每天少销售3箱。（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系；（2）求平均每天销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系；（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？14．为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产。方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件。另外，年销售x件乙产品．．．时需上交20.05x万美元的特别关税。在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润1y、2y与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？安徽滁州市第五中学胡大柱．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）1361036…日销售量m（件）9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝41t＋25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝21t＋40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程。公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围。安徽滁州市第五中学胡大柱《二次函数的应用》专题练习答案1．解：s＝60t－1.5t2＝－1.5（t2－40t）2＝－1.5（t－20）2＋600∵－1.5＜0，∴函数有最大值。当t＝－20时，s最大值＝600，即飞机着陆后滑行600米才能停止。2．10米。3．解：以抛物线的顶点作为原点，水平线作为x轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为2axy，∵过（2，－2）点，∴21a，抛物线的解析式为221xy。当3y时，6x，所以宽度增加（462）m。4．解法一：如图1，建立平面直角坐标系。设抛物线解析式为y＝ax2＋bx。由题意知B、C两点坐标分别为B(18，0)，C(17，1.7)。把B、C两点坐标代入抛物线解析式得解得∴抛物线的解析式为y＝－0.1x2＋1.8x＝－0.1(x－9)2＋8.1。∴该大门的高h为8.1m。解法二：如图2，建立平面直角坐标系。设抛物线解析式为y＝ax2。由题意得B、C两点坐标分别为B(9，－h)，C(8，－h＋1.7)。把B、C两点坐标代入y＝ax2得解得。∴y＝－0.1x2.∴该大门的高h为8.1m。说明：此题还可以以AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系，可得抛物线解析式为y＝－0.1x2＋8.1。5．(1)当x＝0时，y＝54，故OA的高度为1.25米。(2)∵y＝－x2＋2x＋54＝－(x－1)2＋2.25，安徽滁州市第五中学胡大柱∴顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米。(3)解方程－(x－1)2＋2.25＝0，得1215,22xx。∴B点坐标为5,02。∴OB＝52。故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外。6.(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋k，由图知图象过点(1.5，3.05)，代入求得a＝－0.2。∴抛物线的表达式为y＝－0.2x2＋3.5。(2)设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m，∴h＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5，∴h＝0.2(m)。7．解：（1）设所求函数的解析式为2axy。由题意，得函数图象经过点B（3，－5），∴－5＝9a。∴95a。∴所求的二次函数的解析式为295xy。x的取值范围是33x。（2）当车宽8.2米时，此时CN为4.1米，对应45494.1952y，离地面高度为EN长为：14517645495，∴农用货车能够通过此隧道。8．（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的方程为6)4(2xay，又因为点A（0，2）在抛物线上，所以有6)40(22a。所以a＝41。因此有：6)4(412xy。（2）令4y，则有6)4(4142x。解得12422422xx，。21422xx。∴货车可以通过。（3）由（2）可知2112222xx，OxyABCMNE安徽滁州市第五中学胡大柱∴货车可以通过。9.解：(1)M(12，0)，P(6，6)。(2)设抛物线解析式为：6)6(2xay。∵抛物线6)6(2xay经过点(0，0)，∴6)60(02a，即61a，∴抛物线解析式为：xxyxy261,6)6(6122即。(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，)261,12(2mmmC，)261,(2mmmD。∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝)261()212()261(22mmmmm＝15)3(311223122mmm。∵此二次函数的图象开口向下。∴当m＝3米时，AD＋DC＋CB有最大值为15米。10．设每件衬衫提价x元时，可以获得利润y元。根据题意，得y＝（50－40＋x)（500－10x）＝－10x2＋400x＋5000，＝－10（x－20）2＋9000，因为－10＜0，所以，当x＝20时，y的最大值为9000元。即，当每件衬衫提价20元时，可获最大利润9000元。11．解：（1）在给定的直角坐标系中，设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c。由题意得，O、B两点坐标分别为（0，0）、（2，－10），顶点纵坐标为32。则有.1024,3244,02cbaabacc解得.0,310,625cba或.0,2,23cba因抛物线对称轴在y右侧，所以－ab2＞0，即a与b异号，又开口