沪科版九年级上册数学知识点整理

第21章二次函数与反比例函数【知识点1函数y=ax2+bx+c的解析式】1.形如2yaxbxc（a≠0）的函数叫做x的二次函数；2.形如(0)kykx的函数叫做x的反比例函数；典例1在下列函数表达式中，表示y是x的二次函数关系的有。①213yx；②(5)yxx；③213yx；④3(1)(2)yxx；⑤4221yxx；⑥22(1)yxx；⑦2yaxbxc典例2在下列函数表达式中，表示y是x的反比例函数关系的有。①32yx；②kyx；③31yx；④12yx；⑤21yx；⑥12yx；⑦2xy典例3若函数22(2)ayax是反比例函数，则a=,若是二次函数，则a=。【知识点2二次函数的图象与性质】函数2(,,0)yaxbxcabca是常数,a的值a＞0a＜0性质1.抛物线开口，并向无限延伸；2.对称轴是，顶点坐标（，）；3.当x时，y随x的增大而减小，当x时，y随x的增大而增大；4.抛物线有最点，当x=时，y有最值，2___44acbya；1.抛物线开口，并向；2.对称轴是，顶点坐标（，）3.当x时，y随x的增大而减小，当x时，y随x的增大而增大；4.抛物线有最点，当x=时，y有最值，2___44acbya；典例4已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（）x-1012y-3131A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=4时，y＞0D.方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间典例5已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（）A.y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【知识点3二次函数解析式的确定】1.待定系数法：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)(条件：任意点坐标)顶点式：2y()(0)axhka（条件：坐标+任意点坐标）交点式：12()()yaxxxx（条件：与轴两交点坐标及任意点坐标）2.平移规律：左加右减，上加下减典例6抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线表达式为。典例7抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），则这个函数的关系式为。典例8抛物线y=x2+bx+c向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y=x2-2x-3，则b=，c=。典例9若抛物线y=x2+2bx+4的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为。【知识点4二次函数系数与图象】考查角度1：判断a、b、c与0比较大小，决定了开口方向，和共同决定了对称轴的位置（左同右异），决定了抛物线与y轴交点；（填a、b、c）考查角度2：判断b2-4ac，b2-4ac0（图象与坐标轴有个交点），b2-4ac=0(图象与坐标轴有个交点),b2-4ac0(图象与坐标轴交点)。考查角度3：判断2a+b与0比较大小，用对称轴x=与1比较大小即可（解不等式过程中注意a的符号），判断2a-b与0比较大小，用对称轴x=与-1比较大小即可。考查角度4：（1）判断a+b+c与0比较，可将x=1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；判断a-b+c与0比较，可将x=-1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；（2）判断42abc与0比较大小，可将x=代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；（3）判断93abc与0比较大小，可将x=代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；之后判断同理……典例10：如图，是抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，则下列结论：①abc0；②2a+b=0；③b2-4ac0；④a+b+c0；⑤9a-3b+c0；⑥3a+c0；⑦2c3b其中正确的结论有。典例11如图，是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，其顶点的纵坐标为m，则下列结论：①a－b＋c0；②4a＋c2b；③2a-b0；④b2＝4a(c－m)；⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＝m－1有两个不相等的实数根．其中正确结论有。典例12如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③2a=b；④a+b+c＞0；⑤3b+2c＜0；⑥t（at+b）≤a-b（t为任意实数）。其中正确结论有。【知识点5二次函数与一元二次方程】一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标，因此一元二次方程中的△=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点：（1）当△0时，图像与x轴有个交点；（2）当△=0时，图像与x轴有个交点；（3）当△=b2-4ac0时，图像与x轴交点。典例13二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：(1)函数解析式_________________；(2)当x______时，y随x增大而减小；(3)由图象回答：当y＞0时，x的取值范围______；当y＝0时，x＝______；当y＜0时，x的取值范围______；(4)方程ax2＋bx＋c=－3的解为：______．典例14已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m的取值范围是。【知识点6二次函数的应用】典例15某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．典例16王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855yxx，其中y（m）是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．(2)请求出球飞行的最大水平距离．(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【知识点7反比例函数图象与性质】典例17在函数21ayx（a为常数）的图象上有三点（-3，y1），（-1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是。典例18如下图，直线lx轴于点P，且与反比例函数1212(0)(0)kkyxyxxx及图像分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则12kk=。第18题图第19题图【知识点8函数与一次函数综合】典例19如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b和反比例函数myx的图像的两个交点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）由图像求：不等式0mkxbx的解集；典例20如图，在平面直角坐标系xOy中，直线122yx与x轴交于点A，与y轴交于点C。抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是32x，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B。（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．第22章相似三角形【知识点1比例的基本性质】（知识点请查阅教材或笔记）典例1（1）已知,329,578abcabc且求2a+4b-3c=；（2）若x是a、b的比例中项，那么。典例2若723,230,323aceacebdfbdfbdf且那么=。典例3已知,kabcabcbcakcba则的值是。【知识点2黄金分割比】（知识点请查阅教材或笔记）典例4点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC=。典例5已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则下列结论正确的是()A．AB2＝AC•BCB．BC2＝AC•BCC．AC＝512BCD．BC＝352AB【知识点3平行线分线段成比例】（知识点请查阅教材或笔记）典例6如图，AD为△ABC的中线，AE＝13AD，BE的延长线交AC于点F，DH∥BF，则AFCH的值是多少？典例7如图，在△ABC中，DG∥EC，EG∥BC.求证：AE2＝AB·AD【知识点4相似三角形基本模型】典例8如图，在△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另外两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15，BC边上的高是10，求正方形的面积。典例9如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC上一点，ME⊥AD于点E，MF⊥BC于点F，求证：1MFMEABCD典例10如图，点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA=3:1，BC=8，求AF的长。典例11如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC=3：4，求BD：CE的值.典例12△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．(1)如图1，求证：DE·CD=DF·BE；(2)如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．【知识点5相似证明中的比例式】典例13已知：如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，求证：AEACAFAB典例14如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，求证：AC·AE=AF·AB.典例15已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。典例16如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于F．求证：DF2＝FB·FC．典例17如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：ABDFACAF【知识点6相似三角形的性质】典例18已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.典例19若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是__________.典例20如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A.13B.14C.19D.116第20题图第21题图典例21如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC，若S△MBC：S△CMN=3：1，则S△AMN：S△ABC=．【知识点7位似图形】典例22如右图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶5D．1∶6典例23如图，在平面直角坐标系中，每个虚线网格代表一个边长为1个单位长度的小正方形．（1）请以原点O为位似中心，将△ABC作位似变换得到△DEF，且△DEF与△ABC的相似比为2:1.（2）已知在△ABC的边上有一点P，其坐标为（a，b），则P点在△DEF上的对应点的坐标为．典例24如图，AD是△ABC的角平分线线，求证：AB:BD=AC:CD.BACD第23章解直角三角形【知识点1锐角三角函数概念】1、如图，在△ABC中，∠C=90°