人教版高考文科数学一轮复习课件-三角函数的图象与性质

【知识重温】一、必记2个知识点1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有①____________，那么函数f(x)就叫做周期函数．②______叫做这个函数的周期．(2)最小正周期，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个③________，那么这个④________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)T最小正数最小正数2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域x∈Rx∈R{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域⑤____________⑥____________⑦____{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R单调性⑧____________上递增，k∈Z；⑨____________上递减，k∈Z⑩____________上递增，k∈Z；⑪____________上递减，k∈Z⑫____________上递增，k∈Z最值x＝⑬_________时，ymax＝1(k∈Z)；x＝⑭__________时，ymin＝－1(k∈Z)x＝⑮_____时，ymax＝1(k∈Z)；x＝⑯_________时，ymin＝－1(k∈Z)无最值[－π2＋2kπ，π2＋2kπ][π2＋2kπ，3π2＋2kπ][(2k－1)π，2kπ][2kπ，(2k＋1)π](－π2＋kπ，π2＋kπ)π2＋2kπ－π2＋2kπ2kππ＋2kπ奇偶性⑰________⑱________⑲________对称中心：⑳____________对称中心：○21____________对称中心：○22____________对称性对称轴l：○23____________对称轴l：○24____________无周期性○25_____○26_____○27_____奇函数偶函数奇函数(kπ，0)，k∈Zkπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z2π2ππ二、必明2个易误点1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“k∈Z”这一条件．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．()(2)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴．()(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(5)y＝sin|x|是偶函数．()(6)若sinx22，则xπ4.()××××√×2．函数y＝tan3x的定义域为()A.xx≠3π2＋3kπ，k∈ZB.xx≠π6＋kπ，k∈ZC.xx≠－π6＋kπ，k∈ZD.xx≠π6＋kπ3，k∈Z解析：由3x≠π2＋kπ，得x≠π6＋kπ3，k∈Z.答案：D3．[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为()A．4πB．2πC．πD.π2解析：函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.答案：C4．函数y＝sinπ2－x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝π2对称解析：因为y＝sinπ2－x＝cosx，又因为cos(－x)＝cosx，为偶函数，所以其图象关于y轴对称．答案：B5．函数y＝3－2cos(x＋π4)的最大值为________，此时x＝________________.解析：函数y＝3－2cos(x＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z)．答案：53π4＋2kπ(k∈Z)考点一三角函数的定义域[自主练透型]1．函数y＝sinx－cosx的定义域为________．解析：要使函数有意义，必须有sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，同一坐标系中作出y＝sinx，y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.答案：x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z2．函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为________．解析：由sin2x0，9－x2≥0，得kπxkπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x－π2或0xπ2.∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.答案：－3，－π2∪0，π2悟·技法1.三角函数定义域的求法(1)应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解．(2)利用三角函数的图象求解.考点二三角函数的值域与最值[互动讲练型][例1](1)[2019·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．解析：(1)f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令cosx＝t，则t∈[－1,1]．f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2t＋342＋178，易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.故f(x)的最小值为－4.答案：(1)－4(2)函数y＝sinx－cosx＋sinx·cosx，x∈[0，π]的值域为________．解析：(2)设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－1≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时ymin＝－1∴函数的值域为[－1,1]．答案：(2)[－1,1]悟·技法三角函数最值或值域的三种求法(1)直接法：利用sinx，cosx的值域．(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题.[变式练]——(着眼于举一反三)1．函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3解析：∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴sinπ6x－π3∈－32，1.∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3.答案：A2．函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为________．解析：由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π4上的最小值为－22.答案：－22考点三三角函数的性质[互动讲练型]考向一：三角函数的周期性[例2]函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期是()A.π2B．πC.3π2D．2π解析：∵f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝3sinxcosx＋3cos2x－3sin2x－sinxcosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)，∴T＝2π2＝π.故选B.答案：B考向二：三角函数的对称性[例3]已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(ω0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象()A．关于直线x＝π4对称B．关于直线x＝π8对称C．关于点(π4，0)对称D．关于点(π8，0)对称解析：∵f(x)＝sin(ωx＋π4)的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋π4).当x＝π4时，2x＋π4＝3π4，∴A、C两项错误；当x＝π8时，2x＋π4＝π2，∴B项正确，D项错误．答案：B考向三：三角函数的单调性[例4]已知f(x)＝2sin(x＋π4)，x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为[0，π4].答案：[0，π4]悟·技法1.奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y＝Asinωx和y＝Acosωx分别为奇函数和偶函数．(2)周期性：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2017·全国卷Ⅲ]设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减解析：A项，因为f(x)＝cosx＋π3的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．B项，因为f(x)＝cosx＋π3图象的对称轴为直线x＝kπ－π3(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称，B项正确．C项，f(x＋π)＝cosx＋4π3.令x＋4π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ－56π，当k＝1时，x＝π6，所以f(x＋π)的一个零点为x＝π6，C项正确．D项，因为f(x)＝cosx＋π3的递减区间为[2kπ－π3，2kπ＋2π3](k∈Z)，递增区间为[2kπ＋2π3，2kπ＋5π3](k∈Z)，所以π2，2π3是减区间，2π3，π是增区间，D项错误．答案：D4．[2019·全国卷Ⅱ]下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|解析：A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x0，由图象知，在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.答案：A微专题(九)巧用对称性妙解奇偶性问题[例][2020·保定模拟]若函数f(x)＝2sin(2x＋φ－π6)(0φπ)是偶函数，则φ＝________.解题视点：(1)解法一直接利用偶函数的定义构造等式，然后利用恒成立求φ，是已知奇偶性求参数的常规思路．(2)解法二体现了定义的双向性，但计算量大，运算过程极易出错．解析：解法一因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin－2x＋φ－π6＝sin2x＋φ－π6，即－sin2xcosφ－π6＋cos