理科数学小题训练4(带答案)

理科数学小题训练4一、本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l，0，1，2}，集合A={一l，2}，B={0，2}，则BACU)(（）A．{0}B．{2}C．{0，l，2}D．2．已知i为虚数单位，2iz，则复数z（）A．i1B．i1C．2iD．－2i3．“a=2”是“直线ax十2y=0与直线x+y=l平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）A．21B．1C．23D．25．函数2(sincos)1yxx是（）A．最小正周期为2的奇函数B．最小正周期为2的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数6．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列na，若38a，且137,,aaa成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A．13,12B．13,13C．12,13D．13,147．将图中的正方体标上字母,使其成为正方体1111ABCDABCD,不同的标字母方式共有（）A．24种B．48种C．72种D．144种8．若函数yfxxR满足2fxfx，且1,1x时，21fxx，函数lg010xxgxxx，则函数hxfxgx在区间5,5内的零点的个数为（）A．5B．7C．8D．1011主视图左视图俯视图开始i=1,s=0s=s+i1i=i+2输出S结束否是二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上。（一）、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．过点π4,2A引圆4sin的一条切线，则切线长为；10．函数f（x）=3x+3(1)x的最大值为；11．如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且PBPA3，则BCPB．（二）必做题（12~16题）12．二项式521xx的展开式中含4x的项的系数是（用数字作答）．13．如图给出的是计算2011151311的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是．14．当(1,2)x时，不等式2(1)logaxx恒成立，则实数a的取值范围为．15．已知不等式组122yyxyx表示的平面区域为,M若直线13kkxy与平面区域M有公共点，则k的取值范围是16．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i到整点（i＋1）的向量记作1iitt，则2111243323221tttttttttttt＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）在ABC中，abc、、分别为角ABC、、的对边，且满足222bcabc．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若3a，设角B大小为x，ABC的周长为y，求()yfx的最大值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE平面SAC；．PBAC（Ⅲ）当二面角EBDC的大小为45时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．19．（本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为495,490，500,495，…，515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率．20．（本小题满分13分）某公园里有一造型别致的小屋，其墙面与水平面所成的角为，小屋有一扇面向正南的窗户，现要在窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷，如图1所示．如图2是遮阳篷的截面示意图，AB表示窗户上、下边框的距离，AB=m，CD表示遮阳篷．已知该公园夏季正午太阳最高这一天，太阳光线与水平面所成角为，冬季正午太阳最低这一天，太阳光线与水平面所成角为（）．若要使得夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内，而冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能最大限度地直射进室内，那么遮阳篷的伸出长度CD和遮阳篷与窗户上边框的距离BC各为多少？参考答案：DCBA图1图2冬天光线夏天光线OSABCDE一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．题号12345678答案ACCACBBC二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．9．2410.611．2112．1013．2011i14．]2,1(15．)0,31[16．936三、解答题：本大题共6小题，满分75分．17．解：（Ⅰ）∵222bcabc，∴2221cos22bcaAbc又0A，∴3A；-----5分（Ⅱ）∵Aaxbsinsin，∴xxxabsin2sin233sin3sin同理)32sin(sinsinxCAac∴3)6sin(323)32sin(2sin2xxxy∵320,3xA∴)65,6(6x，∴62x即3x时，max33y.------12分18．（Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE.因为SAË平面BDE，OEÌ平面BDE，所以SA∥平面BDE.------4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SOABCD面，ACBD.建立如图所示的空间直角坐标系.设四棱锥SABCD的底面边长为2，则(0,0,0)O，(0,0,2)S，2,0,0A，0,2,0B，2,0,0C，0,2,0D.所以22,0,0AC，0,22,0BD.设CEa（02a），由已知可求得45ECO.所以22(2,0,)22Eaa，22(2,2,)22BEaa.设平面BDE法向量为(,,)xyzn，OyzxSABCDE则0,0BDBEnn即0,22(2)20.22yaxyaz令1z，得(,0,1)2aan.易知0,22,0BD是平面SAC的法向量.因为(,0,1)(0,22,0)02aBDan，所以BDn，所以平面BDE平面SAC.-------------------------------------8分（Ⅲ）解：设CEa（02a），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为(,0,1)2aan.因为SOABCD底面，所以(0,0,2)OS是平面SAC的一个法向量.由已知二面角EBDC的大小为45.所以2cos,cos452OSn，所以2222()122aa，解得1a.所以点E是SC的中点.-------------12分19．解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40件------------2分（Ⅱ）的所有可能取值为0,1,222824063(0)130CPC,11122824056(1)130CCPC,21224011(2)130CPC,的分布列为-8分（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~B，故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225Cp--12分20．解：如图所示，设BCx，CDy，依题意∠ADC＝，∠BDC＝.…………2分在△BCD中，∠BCD＝，CBDBDCBCD，012P130631305613011DCBA由正弦定理得sinsin()xy，①…………4分在△ACD中，CADACDCDA，AB＝m，ACmx，由正弦定理得sinsin()mxy，②…………6分由①②得sin()()sin()sinsinxmx，……………………8分所以sin()sinsinsin()sinsin()mx，………………………………11分sin()sin()sin()sinsinsin()sinsin()myx.……………………12分答：遮阳篷的伸出长度CD为sin()sinsinsin()sinsin()m，遮阳篷与窗户上边框的距离BC为sin()sin()sinsin()sinsin()m.……………………13分