2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析

试卷第1页，总13页2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析卷I（选择题）一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，）1.已知集合𝐴={𝑥|−1𝑥1}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥≤0}，则𝐴∩𝐵=()A.[0,1)B.[−1,2]C.[−2,1)D.(−1,0]2.复数𝑧满足(1+𝑖)𝑧=2𝑖，则复数𝑧在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，|𝐴𝐵→|=4，|𝐴𝐷→|=2，则|𝐵𝐴→+𝐵𝐷→+𝐵𝐶→|=()A.12B.6C.4√5D.2√54.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20∼30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（）A.②③B.①③C.②D.①②5.已知定义域为𝐼的偶函数𝑓(𝑥)在(0, +∞)上单调递增，且∃𝑥0∈𝐼，𝑓(𝑥0)0，则下列函数中符合上述条件的是（）A.𝑓(𝑥)＝𝑥2+|𝑥|B.𝑓(𝑥)＝2𝑥−2−𝑥C.𝑓(𝑥)＝log2|𝑥|D.𝑓(𝑥)=𝑥−436.平面𝛼，𝛽和直线𝑚，给出条件：①𝑚⊂𝛼；②𝑚⊥𝛼；③𝑚 // 𝛼；④𝛼 // 𝛽；⑤𝛼⊥𝛽．为使𝑚 // 𝛽，试卷第2页，总13页应选择下面四个选项中的条件（）A.①⑤B.①④C.②⑤D.③⑤7.函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥+√3cos2𝑥的最小正周期为（）A.𝜋4B.𝜋2C.𝜋D.2𝜋8.已知椭圆𝐸的离心率为𝑒，两焦点分别为𝐹1，𝐹2，抛物线𝐶以𝐹1为顶点，𝐹2为焦点，点𝑃为这两条曲线的一个交点，若𝑒|𝑃𝐹2→|＝|𝑃𝐹1→|，则𝑒的值为（）A.√22B.12C.√33D.不能确定9.曲线𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥在(1,𝑓(1))的切线方程为()A.(1+𝑒)𝑥−𝑦=0B.𝑒𝑥−𝑦+1=0C.(1+𝑒)𝑥+𝑦−2(1+𝑒)=0D.𝑥−(1+𝑒)𝑦=010.设△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶，满足2sin2𝐴sin2𝐵+sin𝐴sin𝐵=12sin2𝐴sin2𝐵，则cos𝐶=()A.−√32B.−12C.√32D.1211.在平面直角坐标𝑥𝑂𝑦中，已知圆𝑀的圆心在直线𝑦=−2𝑥上，且圆𝑀与直线𝑥+𝑦−1=0相切于点𝑃(2，−1).(1)求圆𝑀的方程；(2)过坐标原点𝑂的直线𝑙被圆𝑀截得的弦长为√6，求直线𝑙的方程.12.已知函数𝑓(𝑥)={𝑎−𝑥,𝑥−1(1−2𝑎)𝑥+3𝑎,𝑥≥−1，对任意的𝑥1，𝑥2∈𝑅(𝑥1≠𝑥2)，总有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥20成立，则实数𝑎的取值范围是（）A.(0,14]B.(0,12)C.[14,12)D.(12,1)试卷第3页，总13页卷II（非选择题）二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）13.已知实数𝑥，𝑦满足约束条件{𝑦−𝑥≤0,𝑥+𝑦−1≤0,𝑦+1≥0,则𝑧=3𝑥+𝑦的最大值为________．14.如果两组数𝑎1，𝑎2，…𝑎𝑛和𝑏1，𝑏2，…𝑏𝑛的平均数分别是𝑎和𝑏，那么一组数𝑎1+3𝑏1，𝑎2+3𝑏2，…，𝑎𝑛+3𝑏𝑛的平均数是________．15.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑏=2√3，𝐵=30∘，则𝑎+𝑐sin𝐴+sin𝐶的值为________．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，他的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.三、解答题（本题共计7小题，共计80分，）17.(12分)已知公比大于1的等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1=2，且𝑎6, 𝑆4，−𝑎2成等差数列．(1)求𝑎𝑛；(2)设𝑏𝑛=2𝑛+1𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．18.（12分）如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝑃𝐴=𝐴𝐵=1，𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸为棱𝑃𝐵上一点，𝑃𝐷 // 平面𝐴𝐶𝐸，过𝐸作𝑃𝐶的垂线，垂足为𝐹．试卷第4页，总13页(𝐼)求证：𝑃𝐶⊥平面𝐴𝐸𝐹；(𝐼𝐼)求三棱锥𝑃−𝐴𝐸𝐹的体积．19.(12分)新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心，某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此次战“疫”进行了持续、深入的宣传，帮助全体市民深入了解新冠病毒．增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠病毒及防控知识的了解程度．该市推出了相关知识问卷，随机抽取了年龄在15∼75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21.其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2:1.(1)求图中𝑎,𝑏的值；(2)现采用分层抽样在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少？(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识？了解全面了解不够全面合计青少年人中老年人合计附：参考公式：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑),其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑,试卷第5页，总13页20.(12分)已知椭圆𝐶的中心在坐标原点，离心率等于12，该椭圆的一个长轴端点恰好是抛物线𝑦2＝16𝑥的焦点．（1）求椭圆𝐶的方程；（2）已知直线𝑥＝2与椭圆𝐶的两个交点记为𝑃、𝑄，其中点𝑃在第一象限，点𝐴、𝐵是椭圆上位于直线𝑃𝑄两侧的动点．当𝐴、𝐵运动时，满足∠𝐴𝑃𝑄＝∠𝐵𝑃𝑄，试问直线𝐴𝐵的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.(12分)设定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)＝𝑎0𝑥4+𝑎1𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥+𝑎4，(𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4∈𝑅)，当𝑥＝−1时，𝑓(𝑥)取极大值23，且函数𝑦＝𝑓(𝑥)的图象关于原点对称．（1）求𝑦＝𝑓(𝑥)的表达式；（2）试在函数𝑦＝𝑓(𝑥)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[−√2, √2]上；（3）设𝑥𝑛=2𝑛−12𝑛，𝑦=√2(1−3𝑚)3𝑚(𝑚, 𝑛∈𝑁+)，求证：|𝑓(𝑥𝑛)−𝑓(𝑦𝑚)|43．22.(10分)在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，以原点𝑂为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点𝐴，𝐶的直角坐标分别为(2,2√3)，(2,0)，若直线𝑙经过点𝑂，𝐴，圆𝐶以点𝐶为圆心且经过极点𝑂．(1)求直线𝑙和圆𝐶的极坐标方程；(2)若点𝐵为圆𝐶上的一动点，求△𝐴𝑂𝐵面积的最大值．23.(10分)已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+|𝑥−2|．（1）当𝑎=0时，解不等式𝑓(𝑥)≤3；（2）若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≥|𝑥−3|在𝑅上恒成立，求实数𝑎的取值范围．试卷第6页，总13页文科数学（一）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1.【解答】解：∵𝐴={𝑥|−1𝑥1},𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥≤0}={𝑥|0≤𝑥≤2},∴𝐴∩𝐵=[0,1).故选𝐴.2.【解答】解：由题意得𝑧=2𝑖1+𝑖=2𝑖(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=1+𝑖，所以复数𝑧在复平面内对应的点在第一象限.故选𝐴.3.【解答】解：由已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，|𝐴𝐵→|=4，|𝐴𝐷→|=2，则|𝐵𝐴→+𝐵𝐷→+𝐵𝐶→|=|𝐵𝐷→+𝐵𝐷→|=2|𝐵𝐷→|=2√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=2√20=4√5；故选𝐶．4.【解答】：①建国以来直至2000年为“成年型”人口，错误；②从2010年至2020年为“老龄型”人口，正确，③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口，正确，5.【解答】根据题意，依次分析选项：对于𝐴，𝑓(𝑥)＝𝑥2+|𝑥|，有𝑓(−𝑥)＝(−𝑥)2+|−𝑥|＝𝑥2+|𝑥|＝𝑓(𝑥)，函数为偶函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)＝𝑥2+𝑥，此时𝑓(𝑥)≥0恒成立，不符合题意；对于𝐵，𝑓(𝑥)＝2𝑥−2−𝑥，𝑓(−𝑥)＝2−𝑥−2𝑥＝−(2𝑥−2−𝑥)＝−𝑓(𝑥)，函数为奇函数，不符合题意；对于𝐶，𝑓(𝑥)＝log2|𝑥|，有𝑓(−𝑥)＝log2|−𝑥|＝log2|𝑥|＝𝑓(𝑥)，函数为偶函数，当𝑥0时，𝑓(𝑥)＝log2𝑥，当0𝑥1时，𝑓(𝑥)0，符合题意；对于𝐷，𝑓(𝑥)=𝑥−43=1√𝑥43，为幂函数，且是偶函数，在(0, +∞)上，𝑓(𝑥)0恒成立，不符合题意；6.【解答】解：∵𝑚⊂𝛼，𝛼 // 𝛽，∴𝑚 // 𝛽．故①④⇒𝑚 // 𝛽．故选𝐵．7.【解答】解：∵𝑓(𝑥)=sin2𝑥+√3cos2𝑥=2sin(2𝑥+𝜋3)，试卷第7页，总13页∴最小正周期𝑇=2𝜋2=𝜋．故选𝐶．8.【解答】作𝑃𝑇垂直椭圆准线𝑙于𝑇，则由椭圆第二定义：|𝑃𝐹1|:|𝑃𝑇|＝𝑒又𝑃𝐹1→𝑃𝐹2→=𝑒，故|𝑃𝑇|＝|𝑃𝐹2|，由抛物线定义知𝑙为抛物线准线故𝐹1到𝑙的距离等于𝐹1到𝐹2的距离，即(−𝑐)−(−𝑎2𝑐)＝𝑐−(−𝑐)，整理得：𝑎=√3𝑐，𝑒=𝑐𝑎=√33，9.【解答】解：由题意得𝑦′=𝑒𝑥+1，𝑘=𝑓′(1)=1+𝑒∵𝑓(1)=1+𝑒∴所求的切线方程为𝑦−(1+𝑒)=(1+𝑒)(𝑥−1)，即(1+𝑒)𝑥−𝑦=0，故选𝐴．10.【解答】解：因为cos𝐶=−cos(𝐴+𝐵)=−(cos𝐴cos𝐵−sin𝐴sin𝐵)，所以，2sin2𝐴sin2𝐵+sin𝐴sin𝐵=2sin𝐴cos𝐴×sin𝐵cos𝐵，因为𝐴，𝐵为三角形内角，所以sin𝐴sin𝐵≠0,所以2sin𝐴sin𝐵+1=2cos𝐴cos𝐵，2(cos𝐴cos𝐵−sin𝐴sin𝐵)=1，所以：cos(𝐴+𝐵)=12，cos𝐶=−12.故选𝐵.11.【解答】解：(1)过点(2,−1)且与直线𝑥+𝑦−1=0垂直的直线方程为𝑥−𝑦−3=0，由{𝑦=−2𝑥，𝑥−𝑦−3=0,解得{𝑥=1，𝑦=−2.所以圆心𝑀的坐标为(1，−2)，所以圆心𝑀的半径为𝑟=√(2−1)2+[(−1+2)2]=√2，所