复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性

1复习专题5--抽象函数的周期性与对称性不务正业收集、整理、点评知识点梳理一、抽象函数的对称性定理1.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：)()(xbfxaf，则函数)(xfy的图象关于直线2bax对称。（记忆：如果有：f(a+x）=f(a-x)，显然f(x)关于直线x=2aa＝a对称)推论1.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：)()(xafxaf，则函数)(xfy的图像关于直线ax对称。推论2.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：)2()(xafxf),则函数)(xfy的图像关于直线ax对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程推论3.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：)()(xafxaf，又若方程0)(xf有n个根，则此n个根的和为na。定理2.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：cxbfxaf)()(（cba,,为常数），则函数)(xfy的图象关于点)2,2(cba对称。推论1.若函数)(xfy定义域为R,且满足条件：0)()(xbfxaf成立，则)(xfy的图象关于点证明：设P为函数f(x)上的任意一点，设P(x,y)，则它关于直线2bax的对称点P′(a+b-x,y)，因为：)()(xbfxaf，令x=x-a得：f(x)=f(a+b-x)，所以点P′(a+b-x,y)也是函数f(x)上的点，所以函数)(xfy的图象关于直线2bax对称。证明：由推论1知：函数)(xfy的图象关于直线ax对称，如果方程有奇数个根，即有2k+1个根（此时，n=2k+1），那么，必有一个根在对称轴上，即x=a是方程的一个根，剩下的2k个根关于ax对称，共有K组对称根，这K组对称根的和为2a*k＝2ka，所以所有的根和为（2k+1）a=na；如果方程有偶数个根，设为2k1个根（此时，n=2k1），这2k1个根必关于ax对称，所以和必为：2a*k1=na.先证推论1，再来证图象关于点)2,2(cba对称，呵呵2)0,2(ba对称。推论2.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件：0)()(xafxaf（a为常数），则函数)(xfy的图象关于点)0,(a对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，则这个函数一定是对称函数，要么关于线对称，要么关于点对称。定理3.若函数)(xfy定义域为R，则函数)(xafy与)(xbfy两函数的图象关于直线2abx对称（由xbxa可得）。（注意：这个是两个函数的对称问题）推论1.函数)(axfy与函数)(xafy的图象关于直线ax对称。推论2.函数)(xafy与函数)(xafy的图象关于直线0x对称。定理4.若函数)(xfy定义域为R，则函数)(xafy与)(xbfcy的图象关于点)2,2(cab对称。推论.函数)(xafy与函数)(xbfy图象关于点)0,2(ab对称。由定理1知：如果函数)(xfy定义域为R，且满足条件：)()(xbfxaf，则函数)(xfy的图象关于直线2bax对称，又f(b-x)与-f(b-x)关于x轴对称，所以，必有f(a+x)=-f(b-x)关于)0,2(ba对称。设g(x)=f(a+x)，h(x)=f(b-x)，则g(x)与h(x)如果对称，则对称轴必在它们的交点上，由xbxa得它们的交点为2abx，所以。g(x)与f(x)两函数的图象关于直线2abx对称。证明方法同定理3总结：x的系数一个为1，一个为-1，则g(x)与h(x)[设g(x)=f(a+x)，h(x)=f(b-x)]关于直线2abx对称总结：从总体讲：只要满足x前的系数和为0，且满足f(a+x)=c+f(b-x)的形式，则这个函数一定是对称的。一个是线对称，一个是点对称。在这里要注意与两个函数对称问题的区别。设g(x)=f(a+x)，h(x)=f(b-x)，则g(x)与h(x)关于直线2abx对称3二、抽象函数的周期性定理5.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件)()(bxfxaf，则)(xfy是以baT为周期的周期函数。（当然f(x+a）=f(x+b)则T=a-b是它的一个周期。)推论1.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件)()(bxfxaf，则)(xfy是以)(2baT为周期的周期函数。推论2.若函数满足条件1,fxafx则T=2a则)(xfy是以aT2为周期的周期函数。证明：令x=x+b，因为)()(bxfxaf，所以f(x)=f[x+(a+b)]，所以则)(xfy是以baT为周期的周期函数。证明思路与定理5一样。ⅰ、令x=x-a得，f(x)=-f[x-(a+b)]①ⅱ、令x=x+b得，f(x)=-f[x+(a+b)]②由①②得：f[x-(a+b)]=f[x+(a+b)]由定理5得：)(xfy是以)(2baT为周期的周期函数。证明思路与定理5推论1一样。令x=x-a，得：f(x)=)(1axf，即：)()(1axfxf，又1,fxafx则T=2a，所以，)()(axfaxf，由定理5得，则)(xfy是以aT2为周期的周期函数。（注：x的系数和为0，不一定非要一个是1，一个是-1，只要系数互为相反数就行了，如f(a+2x)=f(b-2x),令x=2X,则函数变成f(a+X)=f(b-X)，那么，以X为自变量，则此函数一定关于直线2baX对称，再换回X＝2x，即关于4bax对称，同样的道理，如果是两个不同的函数，也有相对应的关系）ⅰ、函数)(xfy定义域为R，如果有f(a+x)=f(b-x)，则函数)(xfy的图象关于直线对称，对称轴为：2bax。ⅱ、函数)(xfy定义域为R，如果有f(a+x)=-f(b-x)，则函数)(xfy的图象关于点对称，对称点为：(02，ba)。ⅲ、函数)(xfy定义域为R，如果有f(a+x)=c-f(b-x)，则函数)(xfy的图象关于点对称，对称点为：)2,2(cba对于两个函数对称的问题，分析方法同上，也同样存在线对称与点对称的问题。注意此时点也好，线也好，全变为：2ba4推论3.若函数满足条件1,1fxfxafx则T=4a则)(xfy是以aT4为周期的周期函数。定理7.若函数)(xfy的图象关于直线ax与)(babx对称，则)(xfy是以)(2abT为周期的周期函数。（即我们通常所说，相邻两个对称轴之间的距离是周期的一半，实际上)(2abT只是它的若干个周期中的一个。）定理8.若函数)(xfy的图象关于点)0,(a与点))(0,(bab对称，则)(xfy是以)(2abT为周期的周期函数。定理9.若函数)(xfy的图象关于直线ax与点))(0,(bab，则)(xfy是以)(4abT为周期的周期函数。总结：x的系数同为为1，具有周期性。由1,1fxfxafx则T=4a经整理得到f(x)表达式，然后再利用推论2的证法。证明：因为：1,1fxfxafx则T=4a①令x=x-a得：f(x)=)(1)(1axfaxf②由①得（对①进行变形）1)(1)()(axfaxfxf③由②③得：)(1)(1axfaxf＝1)(1)(axfaxff(x+a)*f(x-a)=-1即：)(1)(axfaxf，令x=x+a得：f(x+2a)=)(1xf由推论2得：则)(xfy是以aT4为周期的周期函数。总结：从总体讲：对于形如：①)()(bxfxaf；②)()(bxfxaf；③1,fxafx则T=2a；④1,1fxfxafx则T=4a等等（多留心，多长个“心眼”就是了，呵呵），只要满足x前的系数相同，则这个函数可能就是周期函数。总结：从总体讲：只要f(x)满足:①关于某两条直线对称；②关于某两点对称；③关于一条直线与一个点对称。则这个函数一定是周期函数。5例题讲解：题型一、抽象函数的对称轴1、若函数2fxxbxc对一切实数都有f(2＋x)=f(2－x)则（）A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)2、设函数y=f(x)定义在实数集R上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图象关于（）对称。A.直线y=0B.直线x=0C.直线y=1D.直线x=1题型二、抽象函数的对称中心1、已知定义为R的函数xf满足4xfxf，且函数xf在区间,2上单调递增.如果21x2x，且4xx21，则21xfxf的值（）A.恒小于0B.恒大于0C．可能为0D．可正可负2、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D）A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称题型三、抽象函数的周期性1、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。2、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（）A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数课后作业：姓名：班级座号1、换题2、定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数3、已知函数()fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1)()xfxxfx，则5(())2ff的值是（）A.0B.12C.1D.5264、已知113xfxx，1fxffx，21fxffx，…，1nnfxffx，则20042f（）.A.17B.17C.35D.35、ABCD—1111DCBA是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111DAAA黑蚁爬行的路线是.1BBAB它们都遵循如下规则：所爬行的第2i段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线（其中)Ni.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是()A.1B.2C.3D.06、在数列12211(*)nnnnxxxxxxnN｛｝中，已知，，则100x=7、yfx定义域为R，且对任意xR都有111fxfxfx，若212f则f(2009)=8、已知f(x)是R上的偶函数，对Rx都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=9、函数)(xf在R上有定义，且满足)(xf是偶函数，且02005f，1gxfx是奇函数，则2005f的值为10、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－21x，则f(8.6)=_______11、设)(xf是定义在区间),(上且以2为周期的函数，对Zk，用kI表示区间),12,12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI上的解析式.7参考答案：题型一、抽象函数的对称轴1、若函数2fxxbxc对一切实数都有f(2＋x)=f