高中数学立体几何讲义(二)

1空间中的垂直关系Ⅰ、直线与平面垂直1、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直奎屯王新敞新疆其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α。2、直线与平面垂直的判定方法：①利用定义。②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。③其它方法：（Ⅰ）、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。（Ⅱ）、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个面。（Ⅲ）、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。（Ⅳ）、如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。3、直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。4、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的投影垂直，那么它也和这条斜线垂直。说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；,,POOPAAaPAaaOA5、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的投影垂直。aPOA2,,POOPAAaAOaaAP．练习：1．若,,abc表示直线，表示平面，下列条件中，能使a的是（D）()A,,,abacbc()B,//abb()C,,abAbab()D//,abb2．已知l与m是两条不同的直线，若直线l平面，①若直线ml，则//m；②若m，则//ml；③若m，则ml；④//ml，则m。上述判断正确的是（B）()A①②③()B②③④()C①③④()D②④3.设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PABC，PBAC，则H是ABC的垂心②若,,PAPBPC两两互相垂直，则H是ABC的垂心③若90ABC，H是AC的中点，则PAPBPC④若PAPBPC，则H是ABC的外心其中正确命题的命题是①②③④例1、已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC。证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC。而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC。又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE。∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC。[反思归纳]证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”。ABCOEP3NMPCBA例2、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C。证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1。∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1。连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1。取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影。∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C。[反思归纳]证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理。例3．四面体ABCD中，,,ACBDEF分别为,ADBC的中点，且22EFAC，90BDC，求证：BD平面ACD证明：取CD的中点G，连结,EGFG，∵,EF分别为,ADBC的中点，∴EG12//AC12//FGBD，又,ACBD∴12FGAC，∴在EFG中，222212EGFGACEF∴EGFG，∴BDAC，又90BDC，即BDCD，ACCDC∴BD平面ACD例4．如图P是ABC所在平面外一点，,PAPBCB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，3ANNB（1）求证：MNAB；（2）当90APB，24ABBC时，求MN的长。ABCDA1B1C1D14MDA1C1B1CBA（1）证明：取PA的中点Q，连结,MQNQ，∵M是PC的中点，∴//MQBC，∵CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连结PD，∵,PAPB∴PDAB，又3ANNB，∴BNND∴//QNPD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB（2）∵90APB，,PAPB∴122PDAB，∴1QN，∵MQ平面PAB∴MQNQ，且112MQBC，∴2MN例5.如图，直三棱柱111ABCABC中，90,1,2ACBACCB，侧棱11AA，侧面11AABB的两条对角线交于点D，11BC的中点为M，求证：CD平面BDM证明：连结1AC，∵90,ACB∴BCAC，在直三棱柱111ABCABC中1CCAC，∴AC平面1CB，∵11AA，1AC∴12AC，∴1ACBC，∵D是侧面11AABB的两条对角线的交点，∴D是1AB与1AB的中点，∴CDBD，连结1BC，取1BC的中点O，连结DO，则//DOAC，∵AC平面1CB，∴DO平面1CB，∴CO是CD在平面1BC内的射影。在1BBC中，1tan2BBC在1BBM中，1tan2BMB，∴11BBCBMB∴1BCBM，∴,CDBMBMBDB，∴CD平面BDM5平面与平面垂直1、两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。2、两平面垂直的判定方法：①利用定义。②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。推理模式：aØ，a。3、两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式：,,,laalØa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4、向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直。练习1、（2009广东卷理）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）。【解析】选D.A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④2、（2009四川卷）如图，已知六棱锥ABCDEFP的底面是正六边形，ABPAABCPA2,平面则下列结论正确的是（）。A.ADPBB.PAB平面PBC平面C.直线BC∥PAE平面D.直线ABCPD与平面所成的角为45°【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以PAB平面PBC平面也不成立；BC∥AD∥平面PAD,∴直线BC∥PAE平面也不成立。在PADRt中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°.∴D正确。6例1、如图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于,AB的任一点，求证：平面PAC平面PBC。分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可。解：∵AB是圆O的直径，∴ACBC，又∵PA垂直于O所在的平面，∴PABC，∴BC平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC平面PBC。[反思归纳]由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC，这是寻找两个平面的垂线的常用方法。例2（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABCABC中E、F分别是1AB、1AC的中点，点D在11BC上，11ADBC。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面1AFD平面11BBCC。ABCOP7例3如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1＝2，D是A1B1中点。（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论。（1）证明：如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°。又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1。∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B。（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求。事实上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DFC1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF。补充题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点。（1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD1。证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD1(1,0,2)DF1ADDF=0×1+2×1+0×(-2)=0,AD⊥D1F。（2）AE=（2，0，1）1DF=（1，0，-2），||5AE，|1|5DF设AE与D1F的夹角为θ，则cosθ=055)2(10012|FD||AE|FDAE11所以，直线AE与D1F所成的角为90°。（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，D1F⊥平面AED，∵D1F平面A1FD1M平面AED⊥平面A1FD1。ABCDA1B1C1D1xzy8第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义：直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a΄//a，b΄//b，相交直线a΄b΄所成的锐角（或直角）叫做。2.范围：2,03.方法：平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式bababa,coscos求出来方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出ba，a，b代入上式方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111zyxa),,(222zyxb222222212121212121coszyxzyxzzyyxx（3）三线角公式用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦即：coscoscos21二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为练习：1．正方体1111ABCDABCD中，O为,ACBD的交点，则1CO与1AD所成的角（）()A60()B90()C3arccos3()D3arccos621cbaPOABD1C1B1A1ODCBAAB1B1A1D1CCD9例2、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，//ABDC，PADAB,90底面ABCD，且12PA