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定时训练(3)充分条件与必要条件一、选择题1.(文)已知a、b都是实数,那么“a2b2”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案]D[解析]a2b2不能推出ab,例:(-2)212,但-21;ab不能推出a2b2,例:1-2,但12(-2)2,故a2b2是ab的既不充分也不必要条件.(理)“|x-1|2成立”是“x(x-3)0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由|x-1|2得-2x-12,∴-1x3;由x(x-3)0得0x3.因此“|x-1|2成立”是“x(x-3)0成立”的必要不充分条件.2.(2010·福建文)若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件[答案]A[解析]当x=4时,|a|=42+32=5当|a|=x2+9=5时,解得x=±4.所以“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件.3.(文)已知数列{an},“对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=3x+2上”是“{an}为等差数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]A[解析]点Pn(n,an)在直线y=3x+2上,即有an=3n+2,则能推出{an}是等差数列;但反过来,{an}是等差数列,an=3n+2未必成立,所以是充分不必要条件,故选A.(理)(2010·南充市)等比数列{an}中,“a1a3”是“a5a7”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分与不必要条件[答案]C[解析]在等比数列中,q≠0,∴q40,∴a1a3⇔a1q4a3q4⇔a5a7.4.(09·陕西)“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]C[解析]由mn0可以得方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆,反之亦成立.故选C.5.(文)设集合A={x|xx-10},B={x|0x3},那么“m∈A”是“m∈B”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]A[解析]∵A={x|0x1},∴AB,故“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件,选A.(理)(2010·杭州学军中学)已知m,n∈R,则“m≠0或n≠0”是“mn≠0”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]A[解析]∵mn≠0⇔m≠0且n≠0,故选A.6.(文)(2010·北京东城区)“x=π4”是“函数y=sin2x取得最大值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]A[解析]x=π4时,y=sin2x取最大值,但y=sin2x取最大值时,2x=2kπ+π2,k∈Z,不一定有x=π4.(理)“θ=2π3”是“tanθ=2cosπ2+θ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]A[解析]解法1:∵θ=2π3为方程tanθ=2cosπ2+θ的解,∴θ=2π3是tanθ=2cosπ2+θ成立的充分条件;又∵θ=8π3也是方程tanθ=2cosπ2+θ的解,∴θ=2π3不是tanθ=2cosπ2+θ的必要条件,故选A.解法2:∵tanθ=2cosπ2+θ,∴sinθ=0或cosθ=-12,∴方程tanθ=2cosπ2+θ的解集为A=θθ=kπ或θ=2kπ±23π,k∈Z,显然2π3A,故选A.7.“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线垂直的充要条件是(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0即m=12或m=-2,∴m=12是两直线相互垂直的充分而不必要条件.8.(2010·浙江宁波统考)设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内两条相交直线,则α⊥β的一个充分不必要条件是()A.l1⊥m,l1⊥nB.m⊥l1,m⊥l2C.m⊥l1,n⊥l2D.m∥n,l1⊥n[答案]B[解析]当m⊥l1,m⊥l2时,∵l1与l2是β内两条相交直线,∴m⊥β,∵m⊂α,∴α⊥β,但α⊥β时,未必有m⊥l1,m⊥l2.9.(2010·黑龙江哈三中)命题甲:12x,21-x,2x2成等比数列;命题乙:lgx,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由条件知甲:(21-x)2=12x·2x2,∴2(1-x)=-x+x2,解得x=1或-2;命题乙:2lg(x+1)=lgx+lg(x+3),∴x+12=xx+3x+10x0x+30,∴x=1,∴甲是乙的必要不充分条件.10.(2010·辽宁文,4)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)[答案]C[解析]∵f′(x)=2ax+b,又2ax0+b=0,∴有f′(x0)=0故f(x)在点x0处切线斜率为0∵a>0f(x)=ax2+bx+c∴f(x0)为f(x)的图象顶点的函数值∴f(x)≥f(x0)恒成立故C选项为假命题,选C.[点评]可以用作差法比较.二、填空题11.给出以下四个命题:①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题.②命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的逆命题.③设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边,若a=1,b=3,则A=30°是B=60°的必要不充分条件.④命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题,其中真命题的序号是________.[答案]②③④[解析]①∵p∨q为真,∴p真或q真,故p∧q不一定为真命题,故①假.②逆命题:若A∪B=B,则A∩B=A,∵A∪B=B,A⊆B,∴A∩B=A,故②真.③由条件得,ba=sinBsinA=3,当B=60°时,有sinA=12,注意ba,故A=30°;但当A=30°时,有sinB=32,B=60°,或B=120°.故③真;④否命题:若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数,这是一个真命题,假若f(-x)为奇函数,则f[-(-x)]=-f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,与条件矛盾.12.(文)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a-b、ab、ab∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域.有下列命题:①数域必含有0,1两个数;②整数集是数域;③若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;④数域必为无限集;其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上)[答案]①④[解析]结合题设的定义,逐一判断,可知①④正确.(理)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a-b、ab、ab∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b2|a,b∈Q}也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上)[答案]③④[解析]①整数a=2,b=4,ab不是整数;②如将有理数集Q,添上元素2,得到数集M,则取a=3,b=2,a+b∉M;③由数域P的定义知,若a∈P,b∈P(P中至少含有两个元素),则有a+b∈P,从而a+2b,a+3b,…,a+nb∈P,∴P中必含有无穷多个元素,∴③对.④设x是一个非完全平方正整数(x1),a,b∈Q,则由数域定义知,F={a+bx|a、b∈Q}必是数域,这样的数域F有无穷多个.13.(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题:p:不等式13x+4m2x-x2对一切实数x恒成立;q:f(x)=-(7-2m)x是R上的减函数,如果p且q为真命题,则实数m的取值范围是________.[答案](1,3)[解析]∵13x=44,2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴要使13x+4m2x-x2对一切x∈R都成立,应有1m≤4;由f(x)=-(7-2m)x在R上是单调减函数得,7-2m1,∴m3,∵p且q为真命题,∴p真且q真,∴1m3.14.(2010·福建理)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:①对任意m∈Z,有f(2m)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k+1).其中所有正确结论的序号是________.[答案]①②④[解析]对于①,f(2)=0,又f(2)=2f(1)=0,∴f(1)=0,同理f(4)=2f(2)=0,f(8)=0……f(1)=2f(12)=0,∴f(12)=0,f(14)=0……归纳可得,正确.对于②④当1x≤2时,f(2x)=4-2x,而22x≤4,∴当2x≤4时,f(x)=4-x同理,当4x≤8时,f(x)=8-x……∴当2m-1x≤2m时,f(x)=2m-x,故②正确,④也正确.而③中,若f(2n+1)=9,∵2n2n+1≤2n+1∴f(x)=2n+1-x,∴f(2n+1)=2n+1-2n-1=9,∴2n=10,∴n∉Z,故错误.三、解答题15.已知c0.设命题P:函数y=logcx为减函数.命题Q:当x∈12,2时,函数f(x)=x+1x1c恒成立.如果P或Q为真命题,P且Q为假命题,求c的取值范围.[解析]由y=logcx为减函数得0c1当x∈12,2时,因为f′(x)=1-1x2,故函数f(x)在12,1上为减函数,在(1,2]上为增函数.∴f(x)=x+1x在x∈12,2上的最小值为f(1)=2当x∈12,2时,由函数f(x)=x+1x1c恒成立.得21c,解得c12如果P真,且Q假,则0c≤12如果P假,且Q真,则c≥1所以c的取值范围为(0,12]∪[1,+∞).16.给出下列命题:(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0.(2)p:m-2;q:方程x2-x-m=0无实根.(3)已知四边形M,p:M是矩形;q:M的对角线相等.试分别指出p是q的什么条件.[解析](1)∵x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0;而(x-2)(x-3)=0⇒/x-2=0.∴p是q的充分不必要条件.(2)∵m-2⇒方程x2-x-m=0无实根;方程x2-x-m=0无实根⇒/m-2.∴p是q的充分不必要条件.(3)∵矩形的对角线相等,∴p⇒q;而对角线相等的四边形不一定是矩形.∴q⇒/p.∴p是q的充分不必要条件.17.(文)已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0,且q≠1),求数列{an}成等比数列的充要条件.[解析]当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn-1,由于p≠0,q≠1,∴当n≥2时,{an}为
本文标题:定时训练(3)充分条件与必要条件
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