追及和相遇问题

追及与相遇——1、追及与相遇问题的实质：2、理清三大关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。速度关系、时间关系、位移关系。3、巧用一个条件：x0ʋ2ʋ1aʋ1ʋ2a速度小者追速度大者速度大者追速度小者两种典型追及问题——1、速度大者减速(如匀减速)追速度小者(如匀速)1)当v1=v2时，A未追上B，则A、B永不相遇，此时两者间有最小距离；v1av2v1v2AB2)当v1=v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；3)当v1v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。两种典型追及问题——2、同地出发，速度小者加速(如初速度为零的匀加速)追速度大者(如匀速)1)当v1=v2时，A、B距离最大；2)当两者位移相等时，有v1=2v2且A追上B。2、相向：两者位移之和等于初始距离即相遇常见的典型的相遇问题——3、抛体相遇1）自由落体和竖直上抛2）平抛和竖直上抛1、同向：两者位移之差等于初始距离时追及相遇例题：如图所示，A、B两球相距H，当A球以初速度ʋ0做竖直上抛运动时，B球同时自由下落，设两球在同一条直线上运动（不计空气阻力）。若要使A球在上升过程中与B球相遇，那么ʋ0满足什么条件？若满足该条件两球相遇的位置距A球抛出点的高度h=？解：（1）由竖直上抛运动规律A球上升的高度A球到达最高点时间A球上升的最大高度2012Ahvtgt0vtg202AvHg由自由落体运动规律B球下落的高度若A球刚好到达最高点与B球相遇则此初速度为临界速度，由此可得得所以上抛过程相遇时（2）若A上升阶段与B相遇则即得所以思考；若要使A球在下落过程与B相遇ʋ0又应满足什么条件？212Bhgt2200122vvgHggABhhH22011()22vtgtgtH0Htv2202000122HHgHhvgHvvv0vgH0vgH点拨：若A、B刚着地时相遇：得即：22002241122vvHgggg02gHv02gHvgH1、认真审题、弄清题意。2、过程分析，画出运动示意图，确定物体在各个阶段的运动规律。3、状态分析，找出题中隐含的临界条件，确定三大关系：时间，位移，速度注意：速度相等常常是能不能相遇或追及的关键点，也是极值出现的临界状态4、选择解题方法，列式求解，讨论结果追及问题的解题步骤——•例1.在平直的公路上前方有一辆车乙以10m/s的速度匀速行驶，司机通过后视镜发现后面也有一辆车甲匀速行驶，出现什么情况甲车才会和乙车相碰？如果甲车以12m/s的速度行驶，两车相距10m，经过多长时间两车相碰？第一类：匀速追匀速例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？x汽x自△x第二类：匀加速追匀速方法一：公式法当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则自汽vatvssavt236自x汽x自△xmmmattvxxxm62321262122自汽自那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？221aTTv自savT42自smaTv/12汽maTx24212＝汽方法三：图象法TVt方法二：图象法解：画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。v/ms-1自行车汽车t/so6t03tan60tmmxm66221V-t图像的斜率表示物体的加速度当t=2s时两车的距离最大st20动态分析随着时间的推移,矩形面积(自行车的位移)与三角形面积(汽车的位移)的差的变化规律α利用数学方法求极值一、利用二次三项式的性质求极值如果物理量y的变化规律，可表示为一元二次函数的形式，则式中a、b和c为任意实数，且a≠0.利用配方法可以将上式化为因为当a˃0时：所以，，y有极小值，为2()02bxa22244()244bacbacbyaxaaa2224()24bacbyaxbxcaxaa2bxa2min42acbya2yaxbxc当a˂0时：所以，，y有极大值为二、利用一元二次方程和不等式判别式的性质求极值根据一元二次方程：当在实数范围内有解时，其判别式为当在实数范围内无解时，其判别式为22244()244bacbacbyaxaaa2bxa2max42acbya2(0)yaxbxca240bac240bac根据一元二次不等式，当x取任意实数时均成立，则其判别式为利用这三个判别式，可以极为方便求a、b和c的极值2(0)yaxbxca240bac方法三：二次函数极值法设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则x汽x自△x2223621ttattvx自时当s2)23(26tm6)23(462mx那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？02362TTxsT4smaTv/12汽maTx24212＝汽方法四：相对运动法选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v0=-6m/s，a=3m/s2，vt=0对汽车由公式axvvt2202mmavvxt632)6(022202问：xm=-6m中负号表示什么意思？atvvt0ssavvtt23)6(00以自行车为参照物,公式中的各个量都应是相对于自行车的物理量.注意物理量的正负号.表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.例2：A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？方法一：公式法两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由A、B速度关系：由A、B位移关系：21vatv022121xtvattv2220221m/s5.0m/s1002)1020(2)(xvva2/5.0sma则第三类：匀减速追及匀速方法二：图象法v/ms-1BAt/so10t020100)1020(210tst2005.0201020a2/5.0sma则方法三：二次函数极值法022121xtvattv代入数据得010010212tat若两车不相撞，其位移关系应为2/5.0sma则0214)10(1002142aa其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有或列方程022121xtvattv代入数据得010010212tat∵不相撞∴△00100214100a2/5.0sma则根的判别式法方法四：相对运动法以B车为参照物，A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=002022axvvt2220202/5.0/10021002smsmxvvat2/5.0sma则以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号.分析两物体运动过程画运动示意图找两物体位移关系列位移方程ʋ客Lʋ货S货S客客货货客ʋ货1、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距x处有另一火车沿同方向以速度v2（对地、且v1＞v2）做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件？a＞(v1–v2)2/2x课堂练习方法点拨：基本公式法，图象法，相对运动法，数学方法——匀减速追匀速1、基本公式法——对运动过程和状态进行分析，找出临界状态，确定三大关系，列式求解。4、数学方法——对运动过程和状态进行分析，确定三大关系，列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解。3、相对运动法——对运动过程和状态进行分析，巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，确定三大关系，列式求解。2、图象法——对运动过程和状态进行分析，精确画出运动图象，根据图象的物理意义列式求解。解决追及问题的常用方法——课堂练习2、（2006广东）a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图象如图所示，下列说法正确的是()A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度B．20秒时，a、b两物体相距最远C．60秒时，物体a在物体b的前方D．40秒时，a、b两物体速度相等，相距200mC方法点拨：基本公式法，图象法，相对运动法，数学方法3、如图所示，两线分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线先后运动的速度—时间图线，根据图线可以判断（）A、甲、乙两小球作的是初速度方向相反的匀减速直线运动，初速大小不同，加速度大小相同，方向相反。B、两球在t=8s时相距最远C、两小球在t0时刻速率相等D、两小球在t=8s时发生碰撞ot/S24682040-20-40v/m·s-1t0CD课堂练习方法点拨：注意v-t图象中图线交点和图线所围面积的理解4、如图所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s，同时同向开始运动，甲以初速度v1、加速度a1做匀加速运动，乙以初速度为零、加速度为a2做匀加速运动，下述情况可能发生的是（）A、a1=a2，甲、乙能相遇一次B、a1a2，甲、乙能相遇两次C、a1a2，甲、乙能相遇一次D、a1a2，甲、乙能相遇两次a1a2甲乙sACD课堂练习方法点拨：利用v-t图象，当a1a2时，三种可能：两者共速时若还没追上，则不能相遇；两者共速时正好追上，则相遇一次；两者共速前追上，则相遇两次。课堂练习5、（2006上海）如图所示．一足够长的固定斜面与水平面的夹角为370，物体A以初速度V1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L＝15m处同时以速度V2沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（sin370＝0.6，cos370＝0.8，g＝10m/s2）()A、V1＝16m/s，V2＝15m/s，t＝3sB、V1＝16m/s，V2＝16m/s，t＝2sC、V1＝20m/s，V2＝20m/s，t＝3sD、V1＝20m/s，V2＝16m/s，t＝2sC方法点拨：画过程草图，找出位移关系，基本公式法6、(2007全国)甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置标记。在某次练习中，甲在接力区前s0=13.5m处作了标记，并以v=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L=20m。求：（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a。（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。课堂练习方法点拨：画过程草图，找出位移关系，基本公式法3m/s26.5m——匀速追匀加速S0=13.5m2212satsvtΔS接力区L=20mʋ=9m/sʋ=9m/s甲发出让乙起跑指令点乙起跑点甲乙交接棒点(2007.全国理综）接力赛交接棒练习1、此此练习中乙在接棒前的加速度a=？2、完成交接棒时乙离接力区末端多远？解析：1、画出运动草图