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第1页共5页乘法公式(基础)【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征,并能从广义上理解公式中字母的含义;2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算;3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【高清课堂396590乘法公式知识要点】要点一、平方差公式平方差公式:22()()ababab两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.要点诠释:在这里,ba,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型:(1)位置变化:如()()abba利用加法交换律可以转化为公式的标准型(2)系数变化:如(35)(35)xyxy(3)指数变化:如3232()()mnmn(4)符号变化:如()()abab(5)增项变化:如()()mnpmnp(6)增因式变化:如2244()()()()abababab要点二、完全平方公式完全平方公式:2222abaabb2222)(bababa两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形:2222ababab22abab224ababab要点三、添括号法则添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.第2页共5页要点诠释:添括号与去括号是互逆的,符号的变化也是一致的,可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()xpxqxpqxpq;2233()()abaabbab;33223()33abaababb;2222()222abcabcabacbc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘,哪些可用平方差公式,哪些不能?能用平方差公式计算的,写出计算结果.(1)2332abba;(2)2323abab;(3)2323abab;(4)2323abab;(5)2323abab;(6)2323abab.【思路点拨】两个多项式因式中,如果一项相同,另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解:(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算,(1)、(6)不能用平方差公式计算.(2)2323abab=23b-22a=2294ba.(3)2323abab=22a-23b=2249ab.(4)2323abab=22a-23b=2249ab.(5)2323abab=23b-22a=2294ba.【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算,一定要注意找准相同项和相反项(系数为相反数的同类项).举一反三:【变式】计算:(1)332222xxyy;(2)(2)(2)xx;(3)(32)(23)xyyx.【答案】解:(1)原式2222392244xxyy.(2)原式222(2)4xx.第3页共5页(3)原式22(32)(23)(32)(32)94xyyxxyxyxy.2、计算:(1)59.9×60.1;(2)102×98.【答案与解析】解:(1)59.9×60.1=(60-0.1)×(60+0.1)=22600.1=3600-0.01=3599.99(2)102×98=(100+2)(100-2)=221002=10000-4=9996.【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法,构造时可利用两数的平均数,通过两式(两数)的平均值,可以把原式写成两数和差之积的形式.这样可顺利地利用平方差公式来计算.举一反三:【变式】(2015春•莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算:(1)1232﹣124×122(2)(2a+b)(4a2+b2)(2a﹣b)【答案】解:(1)1232﹣124×122=1232﹣(123+1)(123﹣1)=1232﹣(1232﹣1)=1232﹣1232+1=1;(2)(2a+b)(4a2+b2)(2a﹣b)=(2a+b)(2a﹣b)(4a2+b2)=(4a2﹣b2)(4a2+b2)=(4a2)2﹣(b2)2=16a4﹣b4.类型二、完全平方公式的应用3、计算:(1)23ab;(2)232a;(3)22xy;(4)223xy.【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算,区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解:(1)22222332396abaabbaabb.(2)222223223222334129aaaaaa.(3)22222222244xyxxyyxxyy.(4)2222222323222334129xyxyxxyyxxyy.第4页共5页【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律:当所给的二项式符号相同时,结果中三项的符号都为正,当所给的二项式符号相反时,结果中两平方项为正,乘积项的符号为负.(2)注意22abab之间的转化.4、(2015春•吉安校级期中)图a是由4个长为m,宽为n的长方形拼成的,图b是由这四个长方形拼成的正方形,中间的空隙,恰好是一个小正方形.(1)用m、n表示图b中小正方形的边长为.(2)用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积;(3)观察图b,利用(2)中的结论,写出下列三个代数式之间的等量关系,代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn;(4)根据(3)中的等量关系,解决如下问题:已知a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2的值.【答案与解析】解:(1)图b中小正方形的边长为m﹣n.故答案为m﹣n;(2)方法①:(m﹣n)(m﹣n)=(m﹣n)2;方法②:(m+n)2﹣4mn;(3)因为图中阴影部分的面积不变,所以(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn;(4)由(3)得:(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,∵a+b=7,ab=5,∴(a﹣b)2=72﹣4×5=49﹣20=29.【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用,列代数式,可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量.5、已知7ab,ab=12.求下列各式的值:(1)22aabb;(2)2()ab.【答案与解析】解:(1)∵22aabb=22ab-ab=2ab-3ab=27-3×12=13.(2)∵2ab=2ab-4ab=27-4×12=1.【总结升华】由乘方公式常见的变形:①2ab-2ab=4ab;②22ab=2ab-2ab=2ab+2ab.解答本题关键是不求出,ab的值,主要利用完全平方公式的整体第5页共5页变换求代数式的值.举一反三:【变式】已知2()7ab,2()4ab,求22ab和ab的值.【答案】解:由2()7ab,得2227aabb;①由2()4ab,得2224aabb.②①+②得222()11ab,∴22112ab.①-②得43ab,∴34ab.
本文标题:乘法公式(基础)知识讲解
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