(人教)高中数学选修2-2课件-1-2-导数的计算(共42张PPT)

1.2导数的计算课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引学习目标1.会根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1𝑥,y=𝑥的导数;2.能够记住基本初等函数的导数公式和导数运算法则;3.会运用基本初等函数的导数公式及运算法则,求简单函数的导数及简单复合函数的导数.重点难点重点:基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则;难点:复合函数的求导法则及其应用.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引1.几个常见函数的导数(1)函数y=f(x)=c的导数y'=0;(2)函数y=f(x)=x的导数y'=1;(3)函数y=f(x)=x2的导数y'=2x;(4)函数y=f(x)=1x的导数y'=-1x2;(5)函数y=f(x)=x的导数y'=12x.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引2.基本初等函数的导数公式原函数导函数(1)f(x)=c(c为常数)f'(x)=0(2)f(x)=xα(α∈Q*)f'(x)=αxα-1(3)f(x)=sinxf'(x)=cosx(4)f(x)=cosxf'(x)=-sinx(5)f(x)=axf'(x)=axlna(6)f(x)=exf'(x)=ex(7)f(x)=logaxf'(x)=1xlna(8)f(x)=lnxf'(x)=1x课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流1做一做:求下列函数的导数:①f(x)=x32;②f(x)=sin𝜋3;③f(x)=ln5.提示:①f'(x)=32x;②f'(x)=0;③f'(x)=0.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).预习交流2思考:两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数?提示:能推广.容易证明:[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]'=f'1(x)+f'2(x)+…+f'n(x).课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引4.复合函数的求导(1)复合函数的概念对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系:y'x=y'u·u'x.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流3思考:如何求复合函数的导数?提示:复合函数求导的主要步骤是:(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量;(2)求每一层基本初等函数的导数;(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测一、利用公式求导数活动与探究1.函数y=ax与y=xn分别是什么类型的函数?它们的导数分别是什么?提示:y=ax是指数函数,其导数为y'=ax·lna;y=xn是幂函数,其导数为y'=n·xn-1.2.函数y=ax与y=ex及y=logax与lnx的求导公式有何特点?提示:(ax)'=axlna,(ex)'=exlne=ex,故函数y=ex可看作函数y=ax的特殊情况;(logax)'=1xlna,(lnx)'=1xln𝑒=1x,故函数y=lnx也可看作函数y=logax的特殊情况.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例1求下列函数的导数:(1)y=1x4;(2)y=log3x;(3)y=x45;(4)y=-2sinx21-2𝑐𝑜𝑠2𝑥4;(5)y=3lnx+ln1x2.思路分析:利用导数公式,必要时进行合理变形、化简,再求导.解:(1)y'=1x4'=(x-4)'=-4x-5=-4x5.(2)y'=(log3x)'=1xlog3e=1xln3.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(3)y'=(x45)'=(x45)'=45x-15.(4)∵y=-2sinx21-2𝑐𝑜𝑠2𝑥4=2sinx22𝑐𝑜𝑠2𝑥4-1=2sinx2cosx2=sinx,∴y'=(sinx)'=cosx.(5)∵y=3lnx+ln1x2=lnx3+ln1x2=lnx,∴y'=(lnx)'=1x.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.已知f(x)=1x3,则f'(1)等于()A.1B.-1C.3D.-3答案:D解析:∵f(x)=1x3=x-3,∴f'(x)=-3x-4.∴f'(1)=-3.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.给出下列命题:①y=ln2,则y'=12;②y=1x2,则y'|x=3=-227;③y=2x,则y'=2x·ln2;④y=log2x,则y'=1xln2.其中正确命题的数目为()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:①中y=ln2为常数,故y'=0,因此①错,其余均正确.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(1)应用导数的定义求导,是求导数的基本方法,但运算较繁琐,而利用导数公式求导数,可以简化求导过程,降低运算难度,是常用的求导方法.(2)利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选择求导公式.有时还要先对函数解析式进行化简整理,这样能够简化运算过程.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测二、导数运算法则的应用活动与探究1.用语言叙述导数的运算法则.提示:(1)两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数导数的和(或差);(2)两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数.(3)两个函数的商的导数,等于分子的导数乘以分母减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.判断下列计算是否正确:(1)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x);(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)+g'(x);(3)[k·f(x)]'=k·f'(x);(4)f(x)g(x)'=f'(x)g'(x).提示:只有(3)正确,其余都错.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例2求下列函数的导数:(1)y=cosx+12x;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=x-1x+1;(4)y=𝑠𝑖nx44+𝑐𝑜𝑠x44;(5)y=𝑐𝑜𝑠2x𝑠𝑖nx+𝑐𝑜𝑠x;(6)y=xlnx.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测思路分析:对于较为复杂、不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数,可先对函数进行适当的变形与化简,然后,再运用相关的公式和法则求导.解:(1)y'=𝑐𝑜𝑠x+12𝑥'=-sinx+12xln12.(2)方法一:y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11.方法二:∵(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(3)方法一:y'=x-1x+1'=(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)'(x+1)2=x+1-(x-1)(x+1)2=2(x+1)2.方法二:∵y=x-1x+1=x+1-2x+1=1-2x+1,∴y'=1-2x+1'=-2x+1'=-2'(x+1)-2(x+1)'(x+1)2=2(x+1)2.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(4)∵y=𝑠𝑖n2𝑥4+𝑐𝑜𝑠2𝑥42-2sin2x4cos2x4=1-12sin2x2=1-12·1-𝑐𝑜𝑠x2=34+14cosx,∴y'=34+14𝑐𝑜𝑠x'=-14sinx.(5)∵y=𝑐𝑜𝑠2x𝑠𝑖nx+𝑐𝑜𝑠x=𝑐𝑜𝑠2x-𝑠𝑖n2x𝑠𝑖nx+𝑐𝑜𝑠x=cosx-sinx,∴y'=(cosx-sinx)'=-sinx-cosx.(6)∵y=xlnx=12xlnx,∴y'=12(x)'·lnx+12x·(lnx)'=12lnx+12.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.函数y=sinx·cosx的导数是()A.cos2x+sin2xB.cos2xC.sin2xD.cosx·sinx答案:B解析:y'=(sinx)'·cosx+sinx·(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.求下列函数的导数:(1)f(x)=2xx2+1;(2)f(x)=x2+sinx2cosx2;(3)f(x)=(x+2)1x-2.解:(1)f'(x)=2xx2+1'=(2x)'(x2+1)-2x(x2+1)'(x2+1)2=2-2x2(x2+1)2.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(2)f'(x)=𝑥2+𝑠𝑖nx2𝑐𝑜𝑠x2'=𝑥2+12𝑠𝑖nx'=2x+12cosx.(3)f'(x)=(x+2)1x-2'=1-2x+2x-4'=-2x+2x-3'=-1x−x-32=-1x−1xx.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定要先分析函数y=f(x)的结构和特征,若直接求导很繁琐,一定要先进行合理的化简变形,再选择恰当的求导法则和导数公式求导.(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简、整理,然后再套用公式求导.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测三、求复合函数的导数活动与探究1.指出下列函数的复合关系:(1)y=ln(2x+3);(2)y=(1-3x)-4;(3)y=co