高中数学选修2-2：导数的四则运算法则

第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.2导数的运算1.2.3导数的四则运算法则考点一考点二考点三已知f(x)＝x，g(x)＝1x.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－1x2.问题2：试求Q(x)＝x＋1x，H(x)＝x－1x的导数．提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－x＋1x＝Δx＋－Δxxx＋Δx，∴ΔyΔx＝1－1xx＋Δx，∴Q′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01－1xx＋Δx＝1－1x2.同理H′(x)＝1＋1x2.问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．问题4：[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，而f′(x)·g′(x)＝1×－1x2＝－1x2.1．导数的四则运算法则(1)设f(x)，g(x)是可导的，则法则语言叙述fx±gx′＝两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数[f(x)g(x)]′＝两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上f′(x)±g′(x)和(或差)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)第一个函数乘上第二个函数的导数法则语言叙述fxgx′＝(g(x)≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以gxf′x－fxg′xg2x分母的平方(2)特别地，[cf(x)]′＝，1gx′＝(g(x)≠0)．2．复合函数y＝f(μ(x))的导数y＝f(μ(x))是x的复合函数，则y′＝f′(μ(x))＝dydμ·dudx＝f′(μ)·μ′(x)．cf′(x)－g′xg2x1.fx±gx′＝f′(x)±g′(x)的推广(1)此法则可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．(2)afx±bgx′＝af′(x)±bg′(x)．2．求复合函数的导数应注意(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)弄清每一步求导是对哪个变量按什么公式求导；(3)不要忘记将中间变量代回原自变量．利用导数的四则运算法则求导[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sinx2cosx2；(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝ex＋1ex－1.[思路点拨]分析函数的结构特征―→选择正确的求导公式和法则―→运用公式求导―→化简[精解详析](1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－12sinx，∴y′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(4)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝exex－1－ex＋1exex－12＝－2exex－12.[一点通]求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．1．函数y＝x2·sinx的导数是()A．2x·sinx＋x2·cosxB．x2·cosxC．2x·sinx－x2·cosxD．2x·cosx解析：y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2·(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.答案：A2．设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()A.193B.163C.133D.103解析：f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝103.答案：D3．求下列函数的导数：(1)y＝cosxx；(2)y＝xsinx＋x；(3)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x；(4)y＝lgx－1x2.解：(1)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.(2)y′＝(xsinx)′＋(x)′＝sinx＋xcosx＋12x.(3)∵y＝1＋x21－x＋1－x21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，∴y′＝41－x－2′＝－41－x′1－x2＝41－x2.(4)y′＝lgx－1x2′＝(lgx)′－1x2′＝1xln10＋2x3.简单的复合函数求导[例2]求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝e2x＋1；(4)y＝sin2x＋π3.[思路点拨]先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[精解详析](1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.(2)∵y＝ln(6x＋4)由函数y＝lnu和u＝6x＋4复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(lnu)′·(6x＋4)′＝6u＝66x＋4＝33x＋2.(3)∵y＝e2x＋1由函数y＝eu和u＝2x＋1复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(4)∵y＝sin2x＋π3由函数y＝sinu和u＝2x＋π3复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·2x＋π3′＝2cosu＝2cos2x＋π3.[一点通]求复合函数导数的步骤：(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y＝f(u)，u＝g(x)；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu′，再求ux′；(3)计算yu′·ux′，并把中间变量转化为自变量．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程．4．函数y＝cos2x的导数为()A．y′＝sin2xB．y′＝－sin2xC．y′＝－2sin2xD．y′＝2sin2x解析：y′＝－sin2x(2x)′＝－2sin2x.答案：C5．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.答案：106．求下列函数的导数．(1)y＝3－x；(2)y＝12ln(x2＋1)；(3)y＝a1－2x(a＞0，a≠1)．解：(1)设y＝u，u＝3－x，则yx′＝yu′·ux′＝12u·(－1)＝－123－x.(2)设y＝12lnu，u＝x2＋1，则yx′＝yu′·ux′＝12·1u·(2x)＝12·1x2＋1·(2x)＝xx2＋1.(3)令y＝au，u＝1－2x，则yx′＝yu′·u′x＝au·lna·(－2)＝a1－2x·lna·(－2)＝－2a1－2xlna.曲线切线方程的确定与应用[例3](12分)设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[精解详析](1)由7x－4y－12＝0得y＝74x－3.当x＝2时，y＝12，∴f(2)＝2a－b2＝12.①又f′(x)＝a＋bx2，∴f′(2)＝a＋b4＝74.②(2分)由①②得4a－b＝1，4a＋b＝7，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(6分)(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．(8分)令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．(9分)令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．(10分)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(12分)[一点通]基本初等函数的求导公式与求导运算法则联合使用，极大地方便了函数的导数的求解，从而为用导数研究曲线的切线注入了强大的源动力，使问题的解决快捷方便．7．(广东高考)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析：因为y′＝2ax－1x，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝12.答案：128．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．解：∵直线l过原点，∴直线l的斜率k＝y0x0(x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x30－3x20＋2x0，∴y0x0＝x20－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x20－6x0＋2.又k＝y0x0，∴3x20－6x0＋2＝y0x0＝x20－3x0＋2，整理得2x20－3x0＝0.∵x0≠0，∴x0＝32，此时y0＝－38，k＝－14.因此直线l的方程为y＝－14x，切点坐标为32，－38.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．求复合函数的导数应处理好以下环节：(1)正确分析函数的复合层次；(2)中间变量应是基本初等函数结构；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．