证明线段相等的常用方法

1ACBDPQABOFEDC证明线段相等的常用方法1.证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。例1.如图，B、C、D在一直线上，△ABC与△ECD都是等边三角形，BE、AD分别交AC、EC于点G、F。（1）求证：AE=BD（2）求证CG=CF例2．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．例3.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．（1）试说明：DE＝BF；二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等2如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。例2.如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.（1）求证：AG=C′G；例3.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则a－c=b－c3例1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰CDAB、为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，联结EF，设线段EF的中点为M．求证：MDMA．例2.例3.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OCABBC,交⊙O于点F，直线AF交BC于E．求证：CFBE．【巩固练习】EFOCBA第4题图第9题图GMEFHDCBA41、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF，连接EF，G为EF的中点．求证：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分AC．2、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.⑴求证：△ABE≌△CFB;⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.ABDECF53.直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．4、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O．（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；（2）求证：AB+CD=2BE．65.已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：(1)∠ADF=∠BCF；(2)AF⊥CF.6、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．点E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．（1）求证：BE=BF；（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．FEDCBA1234578.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．（1）求证：BE=BC；（2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：；（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为9.（2010重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．（1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；（2）求证：∠MPB＝90°－12∠FCM．8深圳中考真题演练[2011年深圳中考]21、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.（1）求证：AG=C′G；（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，的折痕EN，EN角AD于M，求EM的长.【2010年深圳中考】20．（本题7分）如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（4分）（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．（3分）【2009年深圳中考】20．（本题8分）如图9，四边形ABCD是正方形，BEBFBEBFEF，，与BC交于点G．（1）求证：ABECBF△≌△；（4分）（2）若50ABE°，求EGC的大小．（4分）ABCD图8OADCEGBF图99【课后作业】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1、0.2的倒数是（）A．0.2B．5C．5D．122、下面的计算正确的是（）A．326aaaB．235aaC．236aaD．55aa3、图1所示的几何体的右视图是（）4、在物理学里面，光的速度约为3亿米/秒，该速度用科学计数法表示为（）A．0.3×108B．3×106C．3×108D．3×1095、下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3、4、8B．5、6、11C．6、8、20D．5、6、106、从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A．13B．12C．23D．347、不等式2)2(2xx的非负整数解的个数为（）A．1B．2C．3D．48、顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（）A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形9、如图2，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则下列说法正确的是（）A．AB∥CDB．AD∥BCC．AC⊥CDD．∠DAB+∠D=180°10、二次函数223yxx图象如图3所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3D．x＜－1或x＞3图3B1ACD图2图310二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）11、已知函数23yx，则函数自变量的取值范围为；12、因式分解：xyyx63322=；13、一个扇形的弧长是20cm，面积是2240cm，则扇形的圆心角是；14、已知一次函数yxa与反比例函数2yx有一个交点为（2，b），则ba；15、由于全球经济危机的影响，我国某些商品价格持续上涨，某商品由原价20元/件通过两次的提高价格变为28.8元/件，若每次提价的百分率一样，则每次提价百分率为；16、如图4两幅图中，阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为。三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）17、9201330cos122100218、解不等式组13132xx，并将不等式的解集表示在数轴上。19、计算：先化简代数式：1)1111(2xxxx，再从你喜欢的数中选择一个恰当的作为x的值，代入求出代数式的值。四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）20、某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？图41121、如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．图522、已知如图6，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与xy、轴交于点B、A，与反比例函数图象分别交于点CD、，CEx⊥轴于点E，1tan422ABOOBOE，，．（1）求直线AB的解析式；（2）求该反比例函数的解析式．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，满分27分）23、如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．第一排1第二排23第三排456第五排78910第六排1112131415…………………………（1）表中第9行第2个数字是______；（2）求第12行所有数字之和？（3）求第n行的第一个数字和最后一个数字。（用含有“n”的式子表示）OxyACBE图6DCABDEF1224、如图7，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=24，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．PEABCD图725、如图8，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．（3）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；OxyABC412图8