湖南省长沙市2019届高三高考模拟数学(理)试题

1/10科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3.本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。4.考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。姓名准考证号2/10正视图侧视图俯视图绝密★启用前2019年长沙市高考模拟试卷（一）数学（理科）长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150分时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知z是复数，i是虚数单位，1iz在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么zA．i1B．i1C．i1D．i2．已知不等式20xaxb的解集为1,2，m是二项式62()baxx的展开式的常数项，那么772maabA．15B．5C．a5D．53．以双曲线15422yx的离心率为首项，以函数24xxf的零点为公比的等比数列的前n项的和nSA．23123nB．n233C．32321nD．3234n4．已知几何体M的正视图是一个面积为2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为A．6和334B．6+43和338C．6+43和334D．4(+3)和3345．执行下列的程序框图，输出的sA．9900B．10100C．5050D．49506．与抛物线xy82相切倾斜角为0135的直线L与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线xy82的准线所得的弦长为高考湘军输出s开始i=i+1i=1a=100-(iMOD100)s=s+aS=0i200?结束是否3/10A．4B．22C．2D．27．已知直线l与平面平行，P是直线l上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线l成060。那么B点轨迹是A.．双曲线B．椭圆C．抛物线D．两直线8．使得函数bxaxxxf5754512的值域为baba,的实数对ba,有()对A．1B．2C．3D．无数二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）9．xG表示函数3cos2xy的导数，在区间,3上，随机取值a,1aG的概率为；10．已知向量yxa,，1,2xb，设集合baxP|，|5Qxb，当xPQ时，y的取值范围是；11．计算：2211xdxx_____________；12．从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为；13．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：0cos4的圆心位置后顺时针方向旋转60o后直线方向到达圆周0cos4上，此时P点的极坐标为；14．（几何证明4-1）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，AMB=30o，那么⊙O2的半径为；15．(不等式4-5)已知332,0,0,0zyxzyx，那么222)213()612()41(xzzyyx的最小值为；16．方程ax2+by2=1(ba,{1，2，3，4，…，2019})的曲线中，所有圆面积的和等于，离心率最小的椭圆方程为.ABCDPMEO1O24/10三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．函数03sin32cos62xxxf在一个周期内的图像如图所示,A为图像的最高点,B.C为图像与x轴的交点,且ABC为正三角形.(1)若1,0x,求函数xf的值域;(2)若5380xf,且32,3100x,求10xf的值.18．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起，使得△ABD与△ABC成30o的二面角CABD,如图二，在二面角CABD中.(1)求D、C之间的距离；(2)求CD与面ABC所成的角的大小;(3)求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直。19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当1624x时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需量q万千克近似地满足关系:2414,16,0pxtxt，20248ln,1624qxx。当qp市场价格称为市场平衡价格。（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？BCDABDC图一图二A5/1020．设命题p:函数1)5(xbxaxf在,0上是增函数；命题q:方程022baxx有两个不相等的负实数根。求使得pq是真命题的实数对ba,为坐标的点的轨迹图形及其面积。21．已知)0,41(A，点B是y轴上的动点，过B作AB的垂线l交x轴于点Q，若ABAQAP2,0,4M.(1)求点P的轨迹方程；(2)是否存在定直线ax，以PM为直径的圆与直线ax的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。xOyABQ6/1022．(1)已知,0,,,1cbacba,求证：1logloglog333ccbbaa;(2)已知1321naaa，ia0(i=1,2,3,…,3n)，求证：1a3log1a+2a3log2a+3a3log3a+…+na33lognan32019年长沙市高考数学模拟试卷（一）数学（理科）参考答案及评分标准一．选择题：(本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案ADBCBCAB二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)9.8710.(-8，1]11.7ln2312.06013.(23，65)14.315.42716.2027091；20122x+20132y=1和20132x+20122y=1，三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解(1)由已知得:3sin32sin3cos3xxxxf又ABC为正三角形,且高为32,则BC=4.所以函数xf的最小正周期为8,即4,82,34sin32xxf.因为1,0x,所以323,127343xfx.7/10函数xf的值域为32,3………………………6分(2)因为5380xf,有，538)34(sin32)(00xxf54)34(sin0x即由x0)2,2()34x(323100），得，（所以，53)54(1)34(cos20x即故)1(0xf)344(sin320x]4)34(sin[320x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin3200xx567………………………………………………12分18.解:依题意，ABD=90o，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，△ABD与△ABC成30o的二面角,DBY=30o，又AB=BD=2，A(0，0，2)，B(0，0，0)，C(0，3，1)，D(1，3，0)，(1)|CD|=222)10()33()01(=2………5分(2)x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。设CD与面ABC成的角为，而CD=(1，0，-1)，sin=222222)1(01001|)1,0,1()0,0,1(|=22[0，2]，=4；…………………8分(3)设AH=tAD=t(1，3，-2)=(t，3t，-2t)，CH=CA+AH=(0，-3,1)+(t，3t，-2t)=(t，3t-3，-2t+1)，若CHBA，则(t，3t-3，-2t+1)·(0，0，2)=0得t=21，……………10分此时CH=(21，-23，0)，ABDCxyz8/10而BD=(1，3，0)，CH·BD=21-23=-10,CH和BD不垂直，即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。…………………12分19.解：（1）由P=Q得2(x+4t-14)=24+8lnx20（16≤x≤24，t0）。t=213-41x+lnx20（16≤x≤24）。…………………3分t′=-41-x10，t是x的减函数。tmin=213-4124+ln2420=21+ln2420=21+ln65;……………………5分tmax=213-4116+ln1620=25+ln45,值域为[21+ln65，25+ln45]………7分（2）由(1)t=213-41x+lnx20（16≤x≤24）。而x=20时，t=213-4120+ln2020=1.5(元/千克)…………………9分t是x的减函数。欲使x20，必须t1.5(元/千克)要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……12分20.解：f(x)=1)5(xbxa，p真f′(x)=2)1(5xba0对于x(0，+)成立a-b+50。q真方程x2-ax+b-2=0有两个不相等的负实数根0840202baba…………4分pq是真命题p真且q真084050202bababa实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分,不包括边界。)……………8分解：084052baba得a1=-2，a2=6，解205bba得a=-3;(a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积：S=23)25(daa+022)224(daa=23)3(daa+0224daa…………11分=(21a2+3a)|23+121a3|02=67………………………………13分aboPABxOyABQ9/1021.解:(1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=41|m|，m0，m=-4t2，Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则AP=(x-41，y)，AQ=(-4t2-41，0)，2AB=(-21，2t)，AP+AQ=2AB。(x-41，y)+(-4t2-41，0)=(-21，2t)，x=4t2，y=2t，y2=x，此即点P的轨迹方程；…………………6分。(2)由(1)，点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M(4，0)，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(242y，2y),以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:L=222222)24()02()424(ayyy=24))(4(22yaya=2)4()415(2aaya……………10分若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件