湖南长郡中学2020年高三数学模拟试卷(含解析)

湖南长郡中学2020年高三数学模拟试卷文科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合1,2,3A，220Bxxxm，若{3}AB，则B（）A．1,3B．2,3C．1,2,3D．32．若复数21iz，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为iB．2zC．z的共轭复数为1iD．2z为纯虚数3．设0.212a，2log3b，0.32c，则（）A．bcaB．abcC．bacD．acb4．《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变小．在这个问题中的中间两节容量和是（）A．61166升B．2升C．3222升D．3升5．函数229()xxxxfxee的图像大致为（）A．B．C．D．6．某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，把学生编号为1～560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是（）A．004B．005C．006D．0077．在数学解题中，常会碰到形如“1xyxy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设,ab是非零实数，且满足ππsincos8π55tanππ15cossin55abab，则ba（）A．4B．15C．2D．38．若向量a，b的夹角为π3，且||2a，||1b，则向量2ab与向量a的夹角为（）A．π3B．6C．2π3D．5π69．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．20i，1SSi，2iiB．20i，1SSi，2iiC．20i，2SS，1iiD．20i，2SS，1ii10．如图，过双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点F作x轴的垂线交C于A，B两点（A在B的上方），若A，B到C的一条渐近线的距离分别为1d，2d，且214dd，则C的离心率为（）A．2B．54C．3D．4311．在ABC△中，角A，B，C所对应的边分别为,,abc，若4ac，sin2sincosBCA0，则ABC△面积的最大值为（）A．1B．3C．2D．412．过椭圆2212516xy的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PFQ△的周长的最小值为（）A．12B．14C．16D．18第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若113a，246aa，则5S_________．14．已知sincos0αα，则πcos(2)2_________．15．已知函数23222,033,0xaxxfxxaxaxx，若曲线yfx在点,iiiPxfx，（1,2,3i，其中123,,xxx互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是_________．16．已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为22，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组50,55，第二组55,60，…，第五组70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若前两组的学生中体育生有8名．（1）根据频率分布直方图及题设数据完成下列2×2列联表．心率小于60次/分心率不小于60次/分合计体育生20艺术生30合计50（2）根据（1）中表格数据计算可知，________(填“有”或“没有”)99．5%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关”．20PKk0．150．100．050．0250．0100．0050．001k02．0722．7063．8415．0246．6357．87910．82818．（12分）等差数列{}na的前n项和为nS，21517aa，1055S．数列nb满足2lognnab．（1）求数列nb的通项公式；（2）若数列nnab的前n项和nT满足3218nTS，求n的值．19．（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设1AP，3AD，三棱锥PABD的体积34V，求A到平面PBC的距离．20．（12分）已知函数21()ln()2fxaxxaR．（1）证明：lnxx；（2）若函数()fx有两个零点，求实数a的取值范围．21．（12分）已知动圆M与直线1y相切，且与圆222:1xyN外切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）点O为坐标原点，过曲线C外且不在y轴上的点P作曲线C的两条切线，切点分别记为A，B，当直线OP与AB的斜率之积为1时，求证：直线AB过定点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线1C方程为8cos0，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系中，曲线23cos:sinxCy（为参数）．（1）将12,CC化为直角坐标系中普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若极坐标系中1C上的点P对应的极角为3π4，Q为2C上的动点，求PQ中点M到直线33:2xtCyt（t为参数）距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数214fxxx．（1）解不等式：0fx；（2）若341fxxa对一切实数x均成立，求a的取值范围．长郡中学文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】依题意可知3是集合B的元素，即23230m，解得3m，由2230xx，解得1x，3．2．【答案】D【解析】21i21i1i1i1iz，z的虚部为1，A错误；112z，B错误；1iz，C错误；221i2iz，为纯虚数，D正确，本题正确选项D．3．【答案】C【解析】由题意可得0.210,12a，2log31b，0.30.3120,12c，指数函数12xy单调递减，故0.20.31122，综上可得bac，故选C．4．【答案】C【解析】设竹九节由上往下的容量分别为1a，2a，3a，4a，5a，6a，7a，8a，9a，由题意可知123478934aaaaaaa，解得11322766ad，所以问题中的中间两节容量和为5614732922222aaad，故选C．5．【答案】C【解析】221()()xxxxfxfxee，即()fx是奇函数，图象关于原点对称，排除B；当0x时，()0fx恒成立，排除A，D，故选C．6．【答案】C【解析】样本间隔为560807，则20726，则样本中编号最小的是006，故选C．7．【答案】D【解析】a不等于零ππsincos55ππππcoscos855tanπππππ15cossin55coscos55sincos8π55tan15cossin55abaaaabaabab，令tanba，πtantan8π8π85tanπtan()tanπππ()π155155151tantan5kkZππππ()tantan(π)tan3()333kkkkZZ，所以3ba，故本题选D．8．【答案】B【解析】设向量2ab与a的夹角为，因为a，b的夹角为π3，且2a，1b，所以22π1(2)()22cos4221632aabaabaab，22212(2)()4(2)44214232ababaabb，所以(2)63cos22223aabaab，又因为[0,π]，所以π6，故选B．9．【答案】D【解析】根据题意可知，第一天12S，所以满足2SS，不满足1SSi，故排除A、B；由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS，且21i，所以循环条件应该是20i．故选D．10．【答案】B【解析】易知,AB的坐标分别为2,bca，2,bca，图中对应的渐近线为0bxay，则21bcbdc，22bcbdc，214dd，35cb，222925cca，54cea，故选B．11．【答案】A【解析】由正弦定理得2cos0bcA，由余弦定理得222202bcabcbc，即2222bac，22222222232332cos22442acacacbacacBacacacac，当且仅当2433c，2433b，243a时取等号，π0,6B，1sin2B，则111sin41222ABCSacB△，所以ABC△面积的最大值1．故选A．12．【答案】D【解析】由椭圆的对称性可知，P，Q两点关于原点对称，设F为椭圆另一焦点，则四边形PFQF为平行四边形，由椭圆定义可知：420PFPFQFQFa，又PFQF，QFPF，10PFQF，又PQ为椭圆内的弦，min28PQb，PFQ△周长的最小值为10818，本题正确选项D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q，由已知113a，246aa，所以32511()33qq，又0q，所以3q，所以55151(13)(1)12131133aqSq．14．【答案】1【解析】因为sincos0αα，所以1sin20，即sin21，所以πcos(2)sin212，故答案是1．15．【答案】1,2【解析】函数23222,033,0xaxxfxxaxaxx，2222,0361,0xaxfxxaxax，曲线yfx在点,(1,2,3iiiPxfxi，其中123,,xxx互不相等）处的切线互相平行，即yfx在点,iiiPxfx处的值相等，画出导函数yfx的图象，如图，当0x时，222