一元二次方程根与系数的关系教案-人教版(优秀教案)

一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa()当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：242bbacxa()当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bxa()当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac【例】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：()22310xx()24912yy()25(3)60xx解：()2(3)42110，∴原方程有两个不相等的实数根．()原方程可化为：241290yy2(12)4490，∴原方程有两个相等的实数根．()原方程可化为：256150xx2(6)45152640，∴原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例】已知关于x的一元二次方程2320xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：()方程有两个不相等的实数根；()方程有两个相等的实数根()方程有实数根；()方程无实数根．解：2(2)43412kk()141203kk；()141203kk；()141203kk；()141203kk．【例】已知实数x、y满足22210xyxyxy，试求x、y的值．解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：22(2)10xyxyy由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300yyyyy，代入原方程得：22101xxx．综上知：1,0xy二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：2244,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．【例】若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：()2212xx；()1211xx；()12(5)(5)xx；()12||xx．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx()2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx()121212112220072007xxxxxx()121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx()22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．【例】已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．()方程两实根的积为；()方程的两实根12,xx满足12||xx．分析：()由韦达定理即可求之；()有两种可能，一是120xx，二是12xx，所以要分类讨论．解：()∵方程两实根的积为∴222121[(1)]4(1)034,412154kkkkxxk所以，当4k时，方程两实根的积为．()由12||xx得知：①当10x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；②当10x时，12120101xxxxkk，由于302k，故1k不合题意，舍去．综上可得，32k时，方程的两实根12,xx满足12||xx．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0．【例】已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．()是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．()求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．解：()假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．∵一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴2400(4)44(1)160kkkkkk，又12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴1212114xxkxxk∴222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxxxxxxx939425kkk，但0k．∴不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．()∵222121212211212()44224411xxxxxxkxxxxxxkk∴要使其值是整数，只需1k能被整除，故11,2,4k，注意到0k，要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2,3,5．说明：()存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．()本题综合性较强，要学会对41k为整数的分析方法．练习组．一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()．2k．2,1kk且．2k．2,1kk且．若12,xx是方程22630xx的两个根，则1211xx的值为()．2．2．12．92．已知菱形的边长为，两条对角线交于点，且、的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm的根，则m等于()．3．5．53或．53或．若t是一元二次方程20(0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是()．M．M．M．大小关系不能确定．若实数ab，且,ab满足22850,850aabb，则代数式1111baab的值为()．20．2．220或．220或．如果方程2()()()0bcxcaxab的两根相等，则,,abc之间的关系是．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是．．若方程22(1)30xkxk的两根之差为，则k的值是．．设12,xx是方程20xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方程20xqxp的两实根，则p，q．．已知实数,,abc满足26,9abcab，则a，b，c．．对于二次三项式21036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于．您是否同意他的看法？请您说明理由．．若0n，关于x的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的的正实数根，求mn的值．．已知关于x的一元二次方程2(41)210xmxm．()求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；()若方程的两根为12,xx，且满足121112xx，求m的值．．已知关于x的方程221(1)104xkxk的两根是一个矩形两边的长．()k取何值时，方程存在两个正实数根？()当矩形的对角线长是5时，求k的值．组．已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,xx．()求k的取值范围；()是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由．．已知关于x的方程230xxm的两个实数根的平方和等于．求证：关于x的方程22(3)640kxkmxmm有实数根．．若12,xx是关于x的方程22(21)10xkxk的两个实数根，且12,xx都大于．()求实数k的取值范围；()若1212xx，求k的值．第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案组．．．．．．2,acbbc且．．或3．1,3pq．3,3,0abc．正确．．21(1)1650(2)2mm．3(1)(2)22kk组．13(1)112kk且()不存在．1m()当3k时，方程为310x，有实根；()当3k时，0也有实根．．()314kk且；()7k．学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。明天会更好，相信自己没错的！我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。